人教版高中数学选修4-4练习：第二讲二第2课时双曲线的参数方程和抛物线的参数方程word版含解析 6页

第二讲 参数方程 二、圆锥曲线的参数方程 第 2 课时 双曲线的参数方程和抛物线 的参数方程 A 级 基础巩固 一、选择题 1．下列不是抛物线 y2＝4x 的参数方程的是( ) A. x＝4t2， y＝4t (t 为参数) B. x＝t2 4 ， y＝t (t 为参数) C. x＝t2， y＝2t (t 为参数) D. x＝2t2， y＝2t (t 为参数) 解析：逐一验证知 D 不满足 y2＝4x. 答案：D 2．方程 x＝et＋e－t， y＝et－e－t (t 为参数)的图形是( ) A．双曲线左支 B．双曲线右支 C．双曲线上支 D．双曲线下支 解析：因为 x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4， 且 x＝et＋e－t≥2 et·e－t＝2， 所以表示双曲线的右支． 答案：B 3．若曲线 x＝2pt， y＝2pt2 (t 为参数)上异于原点的不同两点 M1，M2 所 对应的参数分别是 t1，t2，则弦 M1M2 所在直线的斜率是( ) A．t1＋t2 B．t1－t2[来源:学_科_网 Z_X_X_K] C. 1 t1＋t2 D. 1 t1－t2 [来源:Zxxk.Com] 解析：依题意 M1(2pt1，2pt21)，M2(2pt2，2pt22)， 所以 k＝2pt21－2pt22 2pt1－2pt2 ＝（t1＋t2）（t1－t2） t1－t2 ＝t1＋t2. 答案：A 4．点 P(1，0)到曲线 x＝t2， y＝2t (参数 t∈R)上的点的最短距离为 ( ) A．0 B．1 C. 2 D．2 解析：设 Q(x，y)为曲线上任一点，则 d2＝|PQ|2＝(x－1)2＋y2＝(t2 －1)2＋4t2＝(t2＋1)2. 由 t2≥0 得 d2≥1，所以 dmin＝1. 答案：B 5．P 为双曲线 x＝4sec θ， y＝3tan θ (θ为参数)上任意一点，F1，F2 为其两 个焦点，则△F1PF2 重心的轨迹方程是( ) A．9x2－16y2＝16(y≠0) B．9x2＋16y2＝16(y≠0) C．9x2－16y2＝1(y≠0) D．9x2＋16y2＝1(y≠0) 解析：由题意知 a＝4，b＝3，可得 c＝5，[来源:Zxxk.Com] 故 F1(－5，0)，F2(5，0)， 设 P(4sec θ，3tan θ)，重心 M(x，y)，则 x＝－5＋5＋4sec θ 3 ＝4 3sec θ，y＝0＋0＋3tan θ 3 ＝tan θ，[来源:Z。xx。k.Com] 从而有 9x2－16y2＝16(y≠0)． 答案：A 二、填空题 6．双曲线 x＝ 3sec 2， y＝tan 2 的顶点坐标为________． 解析：由双曲线的参数方程知双曲线的顶点在 x 轴，且 a＝ 3， 故顶点坐标为(± 3，0)． 答案：(± 3，0) 7．如果双曲线 x＝sec θ， y＝6tan θ (θ为参数)上一点 P 到它的右焦点的距 离是 8，那么 P 到它的左焦点距离是________． 解析：由双曲线参数方程可知 a＝1， 故 P 到它左焦点的距离|PF|＝10 或|PF|＝6. 答案：10 或 6 8．过抛物线 y＝2t， x＝t2 (t 为参数)的焦点作直线交抛物线于 A(x1， y1)，B(x2，y2)两点，如果 x1＋x2＝6，则|AB|＝________． 解析：化为普通方程是：x＝y2 4 ，即 y2＝4x，所以 p＝2. 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝8. 答案：8 三、解答题 9．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x＝t＋1， y＝2t (t 为参数)，曲线 C 的参数方程为 x＝2tan2θ， y＝2tan θ (θ为参数)，试求 直线 l 与曲线 C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标． 解：因为直线 l 的参数方程为 x＝t＋1， y＝2t. 所以消去参数 t 后得直线的普通方程为 2x－y－2＝0.①[来源:Z。xx。k.Com] 同理得曲线 C 的普通方程为 y2＝2x.② ①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)， 1 2 ，－1 . 10．过点 A(1，0)的直线 l 与抛物线 y2＝8x 交于 M、N 两点，求 线段 MN 的中点的轨迹方程． 解：设抛物线的参数方程为 x＝8t2， y＝8t (t 为参数)， 可设 M(8t21，8t1)，N(8t22，8t2)， 则 kMN＝8t2－8t1 8t22－8t21 ＝ 1 t1＋t2 . 又设 MN 的中点为 P(x，y)， 则 x＝8t21＋8t22 2 ， y＝8t1＋8t2 2 . 所以 kAP＝ 4（t1＋t2） 4（t21＋t22）－1. 由 kMN＝kAP 知 t1·t2＝－1 8 ， 又 x＝4（t21＋t22）， y＝4（t1＋t2）， 则 y2＝16(t21＋t22＋2t1t2)＝16 x 4 －1 4 ＝4(x－1)． 所以所求轨迹方程为 y2＝4(x－1)． B 级 能力提升 1．已知抛物线 C1： x＝8t2， y＝8t (t 为参数)，圆 C2 的极坐标方程为ρ ＝r(r>0)，若斜率为 1 的直线过抛物线 C1 的焦点，且与圆 C2 相切， 则 r＝( ) A．1 B. 2 2 C. 2 D．2 解析：抛物线 C1 的普通方程为 y2＝8x，焦点为(2，0)，故直线 方程为 y＝x－2，即 x－y－2＝0，圆的直角坐标方程为 x2＋y2＝r2， 由题意 |－2| 12＋（－1）2 ＝r，得 r＝ 2. 答案：C 2．(2015·广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 C1 的极坐标方程为ρ(cos θ ＋sin θ)＝－2，曲线 C2 的参数方程为 x＝t2， y＝2 2t(t 为参数)，则 C1 与 C2 交点的直角坐标为________． 解析：曲线 C 1 的直角坐标方程为 x＋y＝－2，曲线 C2 的普通方 程为 y2＝8x，由 x＋y＝－2， y2＝8x 得 x＝2， y＝－4，所以 C1 与 C2 交点的直角坐 标为(2，－4)． 答案：(2，－4) 3.如图所示，设 M 为双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)上任意一点，过 点 M 作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于 A，B 两点，试求平行四边形 MAOB 的面积． 解：双曲线的渐近线方程为 y＝±b ax. 不妨设 M 为双曲线右支上一点，其坐标为(asec φ，btan φ)，则 直线 MA 的方程为 y－btan φ＝－b a(x－asec φ)， 将 y＝b ax 代入解得点 A 的横坐标为xA＝a 2(sec φ－tan φ)， 同理可得点 B 的横坐标为 xB＝a 2(sec φ－tan φ)． 设∠AOx＝α，则 tan α＝b a ， 所以平行四边形 MAOB 的面积为 S▱MAOB＝|OA|·|OB|·sin 2α－ xA cos α ·xB cos α ·sin 2α＝a2（sec2φ－tan2φ） 4cos2α ·sin 2α＝a2 2 ·tan α＝a2 2 ·b a ＝ ab 2 .