高中数学选修2-2课件1_7_2 43页

1.7.2 定积分在物理中的应用 问题 引航 1. 变速直线运动的路程如何用定积分表示 ? 2. 求变力 F 做了多少功，需要知道哪些条件 ? 如何用定积分表示多力做功 ? 1. 变速直线运动的路程 做变速直线运动的物体所经过的路程 s ，等于其速度函数 v= v(t)(v(t)≥0) 在时间区间 [a ， b] 上的定积分，即 s=______. 2. 力做功 (1) 恒力做功：一物体在恒力 F( 单位： N) 的作用下做直线运动，如果物体沿着与 F 相同的方向移动了 s ，则力 F 所做的功为 _____. W=Fs (2) 变力做功：如果物体在变力 F(x) 的作用下做直线运动，并 且物体沿着与 F(x) 相同的方向从 x=a 移动到 x=b(a0 ，则运动物体的路程为 s= v(t)dt ；若 v(t)<0 ，则运动物体的路程为 s= |v(t)|dt=- v(t)dt. (3) 若已知做直线运动物体的速度 - 时间图象，可以先求出速度 - 时间函数式，再转化为定积分计算路程；也可以直接计算曲边梯形的面积得到路程；若速度 - 时间函数是分段函数，要利用定积分的性质进行分段积分再求和 . 【 变式训练 】 已知 A ， B 两地相距 400 米，甲、乙两人都沿直线从 A 地运动到 B 地，甲的运动速度为 v 甲 =2t( 米 / 秒 ) ，乙的运动速度为 v 乙 = (t+5) 2 ( 米 / 秒 ). 若甲比乙先出发 5 秒钟，问从 A 地到 B 地的过程中，甲、乙两人能否相遇？ ( 其中 t 为时间，单位：秒 ) 【 解题指南 】 若从 A 地到 B 地的过程中，两人能相遇，那么甲、乙相遇时所走过的路程应该不超过 400 米，否则甲、乙相遇时已在 A ， B 两地之外 . 【 解析 】 设乙出发 x 秒后两人相遇，则相遇时甲走过的路程是 s 1 = 2tdt=(x+5) 2 ， 乙走过的路程是 s 2 = (t+5) 2 dt = ［ (x+5) 3 -5 3 ］ . 由 s 1 =s 2 ，得 (x+5) 2 = ［ (x+5) 3 -5 3 ］ . 整理，得 x 3 -3x 2 -105x-450=0. 设 f(x)=x 3 -3x 2 -105x-450 ， 则 f(10) ＜ 0 ， f(14) ＞ 0. 所以该方程在区间 (10 ， 14) 内必有解，并设此解为 x 0 ，显然 x 0 ＞ 0. 当 x=x 0 时， s 1 =s 2 =(x 0 +5) 2 ＜ (14+5) 2 =361 ＜ 400. 因此，从 A 地到 B 地的过程中，甲、乙两人能相遇 . 【 补偿训练 】 从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为 v=gt(g 为常数 ) ，则电视塔高为 ( ) 【 解析 】 选 C.h= gtdt= gt 2 = 类型二 求变力做功 【 典例 2】 (1) 一物体在力 F(x)=3x 2 -2x+5( 力的单位： N ，位移单位： m) 的作用下沿与力 F(x) 相同的方向由 x=5 m 运动到 x= 10 m 时 F(x) 做的功为 ( ) A.925 J B.850 J C.825 J D.800 J (2) 如图所示，一物体沿斜面在拉力 F 的作用下由 A 经 B ， C 运动到 D ，其中 AB=50 m ， BC=40 m ， CD=30 m ，变力 在 AB 段运动时 F 与运动方向成 30° 角，在 BC 段运动时 F 与运动方向成 45° 角，在 CD 段运动时 F 与运动方向相同，求物体由 A 运动到 D 所做的功． ( ≈1.732 ， ≈ 1.414 ，精确到 1 J) 【 解题探究 】 1. 变力做功的公式是什么？ 2. 在题 (2) 中， AB 段、 CD 段做功的力是多少？ 【 探究提示 】 1. 变力做功的公式 W= F(x)dx. 2. 在 AB 段上做功的力为 Fcos 30° ，在 CD 段上做功的力为 Fcos 45°. 【 自主解答 】 (1) 选 C. 依题意 F(x) 做的功是 W= F(x)dx= (3x 2 -2x+5)dx =(x 3 -x 2 +5x) =825(J). (2) 在 AB 段运动时 F 在运动方向上的分力 F 1 =Fcos 30° ，在 BC 段运动时 F 在运动方向上的分力 F 2 =Fcos 45°. 由变力做功公式得： W= ( x+5)cos 30°dx+ ( x+5)cos 45°dx+600 = 所以物体由 A 运动到 D 变力 F 所做的功为 1 723 J. 【 方法技巧 】 求变力做功的方法步骤 (1) 要明确变力的函数式 F(x)=kx ，确定物体在力的方向上的位移 . (2) 利用变力做功的公式 W= F(x)dx 计算 . (3) 注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳 . 【 变式训练 】 在弹性限度内，用力把弹簧从平衡位置拉长 10 cm 所用的力是 200 N ，求变力 F 做的功 . 【 解题指南 】 弹簧的拉力与弹簧伸长的长度成正比，即 F=kx ，利用已知关系求出 k ，然后对 F(x) 求定积分即可 . 【 解析 】 设弹簧所受到的拉力与弹簧伸长的函数关系式为 F(x)=kx(k>0) ，当 x=10 cm=0.1 m 时， F(x)=200 N ， 即 0.1k=200 ，得 k=2 000 ，故 F(x)=2 000x ， 所以力 F 把弹簧从平衡位置拉长 10 cm 所做的功是 【 补偿训练 】 设有一长 25 cm 的弹簧，若加以 100 N 的力，则弹簧伸长到 30 cm ，求使弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 所做的功． 【 解析 】 设 x 表示弹簧伸长的长度 ( 单位：厘米 ) ， F(x) 表示加在弹簧上的力， 设 F(x)=kx ，依题意得 x=5 时 F(x)=100 ， 所以 k=20 ， x=40-25=15 ，所做的功为： =2 250(N · cm)=22.5(J). 【 易错误区 】 因忽视单位换算导致计算错误 【 典例 】 已知某弹簧原长 5 dm ，在 100 N 的拉力作用下伸长到 5.1 dm ，在弹性限度内，使弹簧伸长到 6 dm 拉力的做功为 ___________. 【 解析 】 设弹簧所受的拉力 F(x)=kx ， 将 x=0.01 m ① ， F(x)=100N ① ，代入上式，得 100=0.01k ， 解得 k=10 4 (N/m) ， 故 F(x)=10 4 x ，使弹簧从 5 dm 伸长到 6 dm ，伸长了 0.1 m ① ， 所以拉力做的功为 答案： 50 J 【 常见误区 】 错解 错因剖析 500J 忽略①处的单位就会导致系数以及弹簧的伸长量出错，从而导致计算拉力做功错误，忽视②导致拉力做功出错 【 防范措施 】 1. 正确应用物理知识 在弹性限度内，弹簧的弹力大小 ( 等于拉力 ) 与弹簧的伸长量成正比，即 F(x)=kx ，本例应用到此知识计算系数 . 2. 正确进行单位换算是计算拉力做功的关键 由 1J=1N · m 知，本例中的长度单位 dm 应换为 m ，忽视了易出错 . 【 类题试解 】 在弹性限度内，弹簧拉长 1cm 要用 5N 的拉力，要把弹簧拉长 2dm ，则拉力做的功为 ( 　　 ) A.0.1J 　　　　　　　　　 B.0.5J C.5J D.10J 【 解析 】 选 D. 设弹簧所受的拉力 F(x)=kx ，弹簧受 5 N 拉力的伸长量为 1 cm ，由题意，得 5=0.01k ，得 k=500 ，所以 F(x)=500x ，依题意，得