高考数学理试题分类汇编圆锥曲线 16页

‎2017 年高考试题分类汇编之圆锥曲线（理数） 解析 一、选择题 1‎ 二、填空题 3‎ 三、大题 5‎ 一、 选择题 ‎【浙江卷】2．椭圆的离心率是 A． B． C． D．‎ ‎【解析】，选B.‎ ‎【全国1卷（理）】10.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）‎ A．16 B．14 C．12 D．10‎ ‎【解析 方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可． 方法二：设出两直线的倾斜角，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案 】设倾斜角为．作垂直准线，垂直轴 易知 同理， 又与垂直，即的倾斜角为 ‎ ‎ 而，即． ，当取等号 ‎ 即最小值为，故选A ‎【全国Ⅱ卷（理）】9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【解析】取渐近线，化成一般式，圆心到直线距离为 得，，．‎ ‎【全国III卷（理）】5.已知双曲线C: (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆 有公共焦点，则C的方程为( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为，则①‎ 又∵椭圆与双曲线有公共焦点，易知，则②‎ ‎ 由①②解得，则双曲线的方程为，故选B.‎ ‎【全国III卷（理）】10.已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2‎ ‎，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为( )‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎【解析】∵以为直径为圆与直线相切，∴圆心到直线距离等于半径，‎ ‎∴‎ 又∵，则上式可化简为 ‎∵，可得，即 ‎∴，故选A ‎【天津卷】（5）已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】由题意得 ，故选B.‎ 二、填空题 ‎【全国1卷（理）】15.已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.‎ ‎【解析】如图，‎ ‎， ‎ ‎∵，∴， ‎ ‎∴‎ 又∵，∴，解得 ‎∴ ‎ ‎【全国2卷（理）】16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ．‎ ‎【解析】则，焦点为，准线，‎ 如图，为、中点，‎ 故易知线段为梯形中位线，‎ ‎∵，，‎ ‎∴‎ 又由定义，‎ 且，‎ ‎∴‎ ‎【北京卷】（9）若双曲线的离心率为，则实数m=_______________.‎ ‎【解析】.‎ ‎【江苏卷】8.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q，其焦点是F1 , F2 ,则四边形F1 P F2 Q的面积是 .‎ ‎【解析】右准线方程为，渐近线为，则，，，，则.‎ ‎【山东卷】14.在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 .‎ 三、大题 ‎【全国I卷（理）】20.（12分）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.‎ ‎20.解：（1）根据椭圆对称性，必过、‎ ‎ 又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点 将代入椭圆方程得，解得， ∴椭圆的方程为：． （2）当斜率不存在时，设 得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．‎ 当斜率存在时，设 联立，整理得 ‎, 则 又，此时，存在使得成立．‎ ‎∴直线的方程为 当时， 所以过定点． 【全国II卷（理）】20. （12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.‎ ‎(1)求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦 点F. ‎ ‎．解：⑴设，易知 又 ‎∴，又在椭圆上．‎ ‎∴，即．‎ ‎⑵设点，，，‎ 由已知：，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 设直线：，‎ 因为直线与垂直．‎ ‎∴‎ 故直线方程为，‎ 令，得，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 若，则，，，‎ 直线方程为，直线方程为，直线过点，为椭圆的左焦点．‎ ‎【全国III卷（理）】20.（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.‎ ‎（1）证明：坐标原点O在圆M上；‎ ‎（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程.‎ 解:(1)显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．‎ 设，，，‎ 联立：得，‎ 恒大于，，．‎ ‎∴，即在圆上．‎ ‎(2)若圆过点，则 化简得解得或 ‎①当时，圆心为，‎ ‎，，‎ 半径 则圆 ‎②当时，圆心为，‎ ‎，，‎ 半径 则圆 ‎【北京卷】（18）（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P(1,1).过点(0,)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B，其中O为原点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.‎ ‎（18）解：（Ⅰ）把P（1,1）代入y2=2Px得P=∴C:y2=x，‎ ‎∴焦点坐标（，0），准线：x=-.‎ ‎（Ⅱ）设l：y=kx+，A（x1，y1），B(x2，y2)，OP：y=x，ON：y=，‎ 由题知A(x1，x1)，B(x1，)‎ k2x2+（k-1）x+=0，x1+x2=，x1·x2=.‎ 由x1+x2=，x1x2=，‎ 上式∴A为线段BM中点.‎ ‎【江苏卷】17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.‎ ‎17.解:（1）∵椭圆E的离心率为，∴①.∵两准线之间的距离为8，∴②.联立①②得，∴，故椭圆E的标准方程为.‎ ‎（2）设，则，由题意得，整理得，∵点在椭圆E上，∴，∴，∴，故点P的坐标是.‎ ‎【江苏卷】B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）‎ 已知矩阵A= ，B=.‎ (1) 求AB;‎ ‎(2)若曲线C1; 在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2 ，求C2的方程.‎ B.解:（1）AB==.‎ ‎（2）设是曲线上任意一点，变换后对应的点为，‎ 所以，即，因为在曲线上，所以即曲线C2的方程.‎ ‎【山东卷】（21）（本小题满分13分）‎ 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.‎ ‎（21）解：（I）由题意知 ，，‎ 所以 ，‎ 因此 椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设，‎ 联立方程 得，‎ 由题意知，‎ 且，‎ 所以 .‎ 由题意知，‎ 所以 由此直线的方程为.‎ 联立方程 得，‎ 因此 .‎ 由题意可知 ，‎ 而 ‎，‎ 令，‎ 则，‎ 因此 ，‎ 当且仅当，即时等号成立，此时，‎ 所以 ，‎ 因此，‎ 所以最大值为.‎ 综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.‎ ‎【天津卷】（19）（本小题满分14分）‎ 设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.‎ ‎（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；‎ ‎（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.‎ ‎（19）（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意，，，，‎ 解得，，，‎ 于是.‎ 所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.‎ 所以，直线的方程为，或.‎ ‎【浙江卷】21．（本题满分15分）如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.‎ ‎（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值.‎ ‎21．解：（Ⅰ）由题易得P（x，x2），-