2018-2019学年江西省赣州市五校协作体高二下学期期中联考数学（文）试题 解析版 16页

绝密★启用前 江西省赣州市五校协作体2018-2019学年高二下学期期中联考数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算集合A与集合B的交集，然后取补集即可.‎ ‎【详解】‎ 集合，，则 ‎ 又全集，则，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集和补集的运算，属于简单题.‎ ‎2．已知复数，其中i为虚数单位，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数的除法运算求得复数z，再根据模的定义即可求得复数的模。‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎∴‎ 即 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数模的求法，是基础的计算题．‎ ‎3．若命题p：，，则该命题的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用存在性命题的否定的方法进行求解，既要改变量词又要否定结论.‎ ‎【详解】‎ 因为命题p：，为特称命题，所以其否定是，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查含有量词的命题的否定，这类命题否定形式既要改变量词又要否定结论.‎ ‎4．“”是“两直线和平行”的　　‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两直线平行的充要条件得或，再根据包含关系判断确定充要性即可得解．‎ ‎【详解】‎ 两直线和平行的充要条件为，即或，‎ 又“”是“或的充分不必要条件，‎ 即“”是“两直线和平行”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两直线平行的充要条件，属简单题．‎ ‎5．已知抛物线上一点到轴的距离为2， 则到焦点的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出抛物线的准线方程，再利用抛物线的定义和题意，可得点P到抛物线的焦点F的距离．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，抛物线y2＝2x的准线方程为x，‎ ‎∵抛物线上一点P到x轴的距离为2，‎ ‎∴可设P代入得x=2,‎ ‎∴P到抛物线的准线的距离为2，‎ 由抛物线的定义得，点P到抛物线的焦点F的距离为，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的简单性质，以及抛物线的定义的应用，属于基础题．‎ ‎6．为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了次试验，得到组数据：，由最小二乘法求得回归直线方程为．若已知，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，求出代入公式求值，从而得到，即可求解得值。‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得，代入回归直线的方程，可得，‎ 所以，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线性回归方程的求法及其应用，其中解答中熟记回归直线的方程的应用，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。‎ ‎7．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺。莞生一日，长一尺。蒲生日自半。莞生日自倍。问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍.为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，输入，.那么在①处应填（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意由两种植物生长长度的规律结合框图，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意， S表示莞高，T表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，故①处应填S＞2T？．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查程序框图，考查学生的读图能力，比较基础，读懂程序的功能是关键.‎ ‎8．如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，令h(x)＝xf(x)，h′(x)是h(x)的导函数，则h′(1)的值是(　　)‎ A．2 B．1 C．－1 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的几何意义，先求出，再求出，从而得到.‎ ‎【详解】‎ 由图可知直线经过点，所以，即；‎ 因为h(x)＝xf(x)，所以，‎ 所以.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义，函数在某点处的导数为该点处切线的斜率.题目较为简单.‎ ‎9．下列有关线性回归分析的四个命题：‎ ‎①线性回归直线必过样本数据的中心点；‎ ‎②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；‎ ‎③当相关性系数时，两个变量正相关；‎ ‎④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于.‎ 其中真命题的个数为（ ）‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据线性回归方程的几何特征及残差,相关指数的概论,逐一分析四个答案的正误,可得答案.‎ 详解：①线性回归直线必过样本数据的中心点（）,故①正确; ②回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点,故②错误; ③当相关性系数时,则两个变量正相关,故③正确; ④如果两个变量的相关性越强,则相关性系数r就越接近于1或-1,故④错误. 故真命题的个数为2个, 所以B选项是正确的 点睛：本题以命题的真假判断为载体,考查了相关关系,回归分析,相关指数等知识点,难度不大,属于基础题.‎ ‎10．已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为　　‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意布列关于a,b的方程组，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意知双曲线的焦点到渐近线的距离为，‎ 所以，该双曲线的离心率为故选.‎ ‎【点睛】‎ 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎11．若函数在处取得极大值10，则的值为（ ）‎ A． B． C．或 D．不存在 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用当时导数为零列方程，求得的关系式，并根据时为极大值对关系式进行检验，由此求得的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，①，结合②，解得或.当时，函数在两侧左减右增，取得极小值，不符合题意，舍去.当时，，函数在两侧左增右减取得极大值，符合题意，故，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题考查已知函数的极大值求参数，考查函数导数、极值与单调性的关系，考查分析与求解问题的能力，属于中档题.解题过程中要注意的是，取得极值点，导数为零，要注意验证导数为零的点左右两侧的单调性，以便确定是极大值还是极小值.‎ ‎12．将正整数排列如下：‎ 则图中数出现在（ ）‎ A．第行第列 B．第行第列 C．第行第列 D．第行第列 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图分析第行共有个数，且前行共有个数，再通过比较，和2019的大小，可推出2019的所在行和列。‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，第行共有个数，且前行的个数为1+3+5++=，因为，，且，所以2019位于第45行，又第45行共有=89个数，所以2019-1936=83，故2019位于第45行第83列，故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查归纳推理的应用，及等差数列的前n项和公式，关键在于求出前n行数字的个数，属中档题。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．在极坐标系中，圆C：的圆心到点的距离为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心坐标，利用两点间距离公式即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 化为，‎ 化为直角坐标为，‎ 即为，圆心坐标为，的直角坐标仍然是,‎ 所以与的距离为，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，极坐标问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．‎ ‎14．甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴．甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”．如果这三句话只有一句是真的，那么会弹钢琴的是______．‎ ‎【答案】乙 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，假设结论，根据他们所说的话推出与题意矛盾的即为错误结论，从而得出答案.‎ ‎【详解】‎ 假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；‎ 假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意，‎ 假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾；‎ 故答案是乙 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了推理证明，属于基础题.‎ ‎15．抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于两点，若△为等边三角形，则＝________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由抛物线可知焦点，准线，由于△为等边三角形，设AB与y轴交于M,FM=P,,即，填。‎ ‎【点睛】‎ 对于圆锥曲线要先定位，再定量，本题的抛物线焦点是在y轴正半径。所以求出抛物线的焦点坐标与准线方程，再把准线方程与双曲线组方程组算出B点坐，再由等边三角形，可解的P,‎ ‎16．曲线在点处的切线的斜率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，代入，得到切线的斜率即可．‎ ‎【详解】‎ 曲线，可得，‎ 所以曲线在点处的切线的斜率为：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法，考查计算能力．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知双曲线的标准方程为 。‎ ‎（1）写出双曲线的实轴长，虚轴长，离心率，左、右焦点、的坐标；‎ ‎（2）若点在双曲线上，求证：。‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据双曲线的标准方程，求得a和b的值，即可求得答案；‎ ‎(2)根据直线斜率求得，从而可得.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由，可得：，，所以离心率为，左、右焦点分别为,；‎ ‎(2)因为,,,所以，所以 ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单几何性质与直线垂直的判定，属于基础题型.‎ ‎18．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．‎ ‎(1)求出f(5)的值；‎ ‎(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；‎ ‎(3)求＋＋＋…＋的值．‎ ‎【答案】⑴；⑵；⑶‎ ‎【解析】‎ 本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，（3）问考查了裂项法求数列的和，属于中档题 ‎（1）先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…，即可求出f（5）；‎ ‎（2）总结一般性的规律，可知f（n+1）-f（n）=4n，利用叠加法，可求f（n）的表达式；‎ ‎（3）根据通项特点，利用裂项法求和，即可得到解决．‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）因为 由上式规律，所以得出 因为 ‎（Ⅲ）当时，,则 ‎19．到2020年，我国将全面建立起新的高考制度，新高考采用模式，其中语文、数学、英语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣、爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门（6选3）参加考试，满分各100分.为了顺利迎接新高考改革，某学校采用分层抽样的方法从高一年级1000名（其中男生550名，女生450名）学生中抽取了名学生进行调查.‎ ‎（1）已知抽取的名学生中有女生45名，求的值及抽取的男生的人数.‎ ‎（2）该校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目，且只能选择一个科目），得到如下列联表.‎ 选择“物理”‎ 选择“地理”‎ 总计 男生 ‎10‎ 女生 ‎25‎ 总计 ‎（i）请将列联表补充完整，并判断是否有以上的把握认为选择科目与性别有关系.‎ ‎（ii）在抽取的选择“地理”的学生中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名学生中抽取2名，求这2名中至少有1名男生的概率.‎ 附：，其中.‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【答案】(1) ，55人 (2) （i）见解析；（ii）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可得，求解即可得出的值，进而可得抽取的男生人数；‎ ‎（2）（i）根据题中数据先完善列联表，再由求出的值，结合临界值表即可的结果；‎ ‎（ii）先由题易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为，，4名女生，分别记为，，，；用列举法分别列举出“6名学生中随机抽取2名”和“其中至少有1名男生”所包含的基本事件，基本事件个数比即是所求概率.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意得，解得，‎ 则抽取的男生的人数为.‎ ‎（2）（i）‎ 选择“物理”‎ 选择“地理”‎ 总计 男生 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 女生 ‎25‎ ‎20‎ ‎45‎ 总计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ 则，‎ 所以有以上的把握认为送择科目与性别有关系.‎ ‎（ii）由题易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为，‎ ‎，4名女生，分别记为，，，.‎ 从6名学生中随机抽取2名，有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，其中至少有1名男生的有，，，，，，，，，共9种情况，‎ 故所求概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分层抽样、独立性检验以及古典概型的问题，需要考生熟记分层抽样特征、独立性检验的思想、以及古典概型的计算公式，属于常考题型.‎ ‎20．已知函数f（x）=x2（x-1）．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(1) 的递增区间为，递减区间为．‎ ‎(2) 最大值，最小值．‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）求导数后，由可得增区间，由可得减区间．（2）根据单调性求出函数的极值和区间的端点值，比较后可得最大值和最小值．‎ 详解：（1）∵，‎ ‎∴．‎ 由，解得或；‎ 由，解得，‎ 所以的递增区间为，递减区间为．‎ ‎（2）由（1）知是的极大值点，是的极小值点，‎ 所以极大值，极小值，‎ 又，，‎ 所以最大值，最小值．‎ 点睛：（1）求单调区间时，由可得增区间，由可得减区间，解题时注意导函数的符号与单调性的关系．‎ ‎（2）求函数在闭区间上的最值时，可先求出函数的极值和区间的端点值，通过比较后可得最大值和最小值．‎ ‎21．已知椭圆：，为坐标原点，为椭圆的左焦点，离心率为，直线与椭圆相交于，两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若是弦的中点，是椭圆上一点，求的面积最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据可求得，结合离心率为即可求得，，问题得解。‎ ‎（2）设，.设直线的方程为：，联立直线与椭圆方程可得：，结合可求得，利用弦长公式求得，再利用直线与椭圆的位置关系即可求出点到直线的距离的最大值，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 解：∵，为椭圆的左焦点，‎ 设椭圆的焦距为，所以，‎ ‎∵离心率为，∴，又，所以，‎ ‎∴椭圆的方程为：.‎ ‎（2）设，.‎ ‎∵是弦的中点，∴直线的斜率存在，设斜率为，‎ 则直线的方程为：，即.‎ 由联立，整理得：，‎ 因为直线与椭圆相交，所以成立.‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线的方程为：，，，‎ ‎∴ .‎ 要使的面积最大值，而是定值，需点到的距离最大即可.‎ 设与直线平行的直线方程为：，‎ 由方程组联立，得，‎ 令，得.‎ ‎∵是椭圆上一点，‎ ‎∴点到的最大距离，即直线到直线的距离.‎ 而，‎ 此时 .‎ 因此，的面积最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的简单性质，还考查了韦达定理及中点坐标公式、弦长公式，考查了方程思想、两平行线间方程的关系及计算能力，考查了直线与椭圆的位置关系及转化思想，属于难题。‎ ‎22．已知函数．‎ 当时，求曲线在处的切线方程；‎ 讨论函数的单调性；‎ 当时，求函数在区间的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，，求其导函数，得到，又，可得曲线在处的切线方程为；‎ 求出原函数的导函数，分，，三类求函数的单调区间；‎ 由知，当时，的减区间为，增区间为，然后分，，三类求函数的最小值．‎ ‎【详解】‎ 解：当时，，．‎ ‎，又，‎ 曲线在处的切线方程为；‎ ‎．‎ 当时，，在上为增函数；‎ 当时，在上有，当上，有，‎ 的减区间为，增区间为；‎ 当时，在上有，当上，有，‎ 的减区间为，增区间为；‎ 由知，当时，的减区间为，增区间为，‎ 若，即时，在单调递增，；‎ 若，即，在上单调递减，在上单调递增，；‎ 若，即时，在单调递减，．‎ 综上，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性及最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．‎