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- 2021-06-04 发布
理科数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.复数，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3.为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是（ ）
A．各月的平均最高气温都不高于25度 B．七月的平均温差比一月的平均温差小
C．平均最高气温低于20度的月份有5个 D．六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于10度
4.为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有（ ）
A．140种 B．70种 C．35种 D．84种
5.在等差数列中，若，则数列的前15项的和为（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45
6.已知抛物线：的焦点为，过点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，则弦的中点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
7.若三棱锥的三视图如图，正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则该三棱锥的最长棱的棱长为（ ）
A． B． C． D．
8.规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“新时代数”．如图，若输入的，则输出的为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9.已知函数，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
11.已知半径为5的求被两平行的平面所截，两截面圆的半径分别为3和4，则分别以两截面为上下底的圆台的侧面积为（ ）
A． B．
C．或 D．或
12.已知椭圆：的右焦点为，过点的两条互相垂直的直线，，与椭圆相交于点，，与椭圆相交于点，，则下列叙述不正确的是（ ）
A．存在直线，使得值为7
B．存在直线，使得值为
C．四边形的面积存在最大值，且最大值为6
D．四边形的面积存在最小值，且最小值为
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若，满足约束条件则的最小值为 ．
14.已知为数列的前项和，，当时，，则 ．
15.在中，，，点为外接圆的圆心，则 ．
16.在中，为上一点，且，，为的角平分线，则面积的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知函数．
（1）求函数的最小正周期及在区间的值域；
（2）在中，，，所对的边分别是，，，，，，求的面积．
18.随着我国经济的快速发展，民用汽车的保有量也迅速增长．机动车保有量的发展影响到环境质量、交通安全、道路建设等诸多方面．在我国，尤其是大中型城市，机动车已成为城市空气污染的重要来因此，合理预测机动车保有量是未来进行机动车污染防治规划、道路发展规划等的重要前提．从2012年到2016年，根据“云南省某市国民经济和社会发展统计公报”中公布的数据，该市机动车保有量数据如表所示．
年份
2012
2013
2014
2015
2016
年份代码
1
2
3
4
5
机动车保有量（万辆）
169
181
196
215
230
（1）在图所给的坐标系中作出数据对应的散点图；
（2）建立机动车保有量关于年份代码的回归方程；
（3）按照当前的变化趋势，预测2017年该市机动车保有量．
附注：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
19.如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为的中点，，．
（1）证明：；
（2）若点为的中点，求二面角的余弦值．
20.椭圆：的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左顶点为，右顶点为，点是椭圆上的动点，且点与点，不重合，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，求证：以线段为直径的圆恒过定点．
21.已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若在上恒成立，求正整数的最小值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知抛物线的方程为，以抛物线的焦点为极点，以轴在点右侧部分为极轴建立极坐标系．
（1）求抛物线的极坐标方程；
（2），是曲线上的两个点，若，求的最大值．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等死的解集；
（2）当取何值时，恒成立.
理科数学试卷答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1），
所以的最小正周期，
，
，，
所以函数在区间的值域为．
（2）由得，
又，，，
由及余弦定理得：，，
又，代入上式解得，
的面积．
18.解：（1）数据对应的散点图如图8所示.
图8
（2），，，
所以回归直线方程为．
（3）代入2017年的年份代码，得，所以按照当前的变化趋势，2017年该市机动车保有量为245万辆．
19．（1）证明：因为顶点在底面上的射影恰为AC的中点M，
所以，又，所以，
又因为，而，且，
所以平面，又因为，
所以．
（2）解：如图9，以为原点，建立空间直角坐标系，
则[]
，[]
于是，
求得平面的一个法向量为，
由，求得平面的一个法向量
为，则，
所以二面角的余弦值为．
20．（1）解：，又，联立解得：，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）证明：设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为，
联立得．
，
整理得：，故，
又，(分别为直线PA，PB的斜率)，
所以，
所以直线PB的方程为：，
联立得，
所以以ST为直径的圆的方程为：，
令，解得：，
所以以线段ST为直径的圆恒过定点．
21．解：（1）函数的定义域为，
由于在上是减函数，
所以当时，；当时，.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由在上恒成立，
整理得：在上恒成立即可.
令，
当时，，以及在上，
得在上恒成立，
由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为．
所以有，即恒成立，
所以正整数k的最小值为1．
22．解：（1）由抛物线的定义得：，
即：．
（2）由（1）得：
，
当且仅当时等号成立，故的最大值为．
23．解：（1）由有：，
所以，
即或或
解得不等式的解集为．
（2）由恒成立得即可.
由（1）得函数的定义域为，
所以有所以，
即．