高中数学必修1教案：第九章直线平面简单几何体(B)(第30课)多面体欧拉定理的发现(2) 4页

课 题：9．10研究性课题：多面体欧拉定理的发现 (二) ‎ 教学目的：会用欧拉公式解决实际问题 ‎ 教学重点：欧拉定理的应用 教学难点：在具体问题中会利用顶点V、面数F、棱数E的关系互化 授课类型：新授课 ‎ 课时安排：1课时 ‎ 教 具：多媒体、实物投影仪 ‎ 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体 说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体 ‎2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数：‎ 正多面体 顶点数 面数 棱数 正四面体 ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ 正六面体 ‎8‎ ‎6‎ ‎12‎ 正八面体 ‎6‎ ‎8‎ ‎12‎ 正十二面体 ‎20‎ ‎12‎ ‎30‎ 正二十面体 ‎12‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式：‎ ‎． ‎ ‎4．欧拉示性数：在欧拉公式中令，叫欧拉示性数 说明：（1）简单多面体的欧拉示性数．‎ ‎（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数 ‎．例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体 二、讲解范例：‎ 例1 由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种 证明：设正多面体的每个面的边数为，每个顶点连有条棱，‎ 令这个多面体的面数为，每个面有条边，故共有条边，由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数 （1）‎ ‎ 令这个多面体有个顶点，每一个顶点处有条棱，故共有条棱由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数 （2）‎ 由（1）（2）得：，代入欧拉公式：．‎ ‎∴ （3），‎ ‎∵又，，但，不能同时大于，‎ ‎（若，，则有，即这是不可能的）‎ ‎∴，中至少有一个等于．令，则，‎ ‎∴，∴，∴．‎ 同样若可得．‎ 例2．欧拉定理在研究化学分子结构中的应用：‎ ‎1996年诺贝尔化学奖授予对发现有重大贡献的三位科学家是由60个原子构成的分子，它是形如足球的多面体这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算分子中五边形和六边形的数目 解：设分子中有五边形个，六边形个 分子这个多面体的顶点数，面数，棱数，由欧拉定理得： （1），‎ 另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，得 （2），由（1）（2）得：，‎ ‎∴分子中五边形有12个，六边形有20个 例3．一个正多面体各个面的内角和为，求它的面数、顶点数和棱数 解：由题意设每一个面的边数为,则，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴,‎ 将其代入欧拉公式,得,设过每一个顶点的棱数为,‎ 则，得,即（1）,‎ ‎∵，∴,又，‎ ‎∴的可能取值为，,,‎ 当或时（1）中无整数解；‎ 当,由（1）得, ‎ ‎∴, ∴，‎ 综上可知:，，.‎ 三、小结 ：欧拉定理的应用；会用欧拉公式解决简单多面体的顶点数、面数和棱数的计算问题 ‎ 四、课后作业：‎ ‎⒈　一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F＝2V－4‎ 证明：∵　，V＋F－E＝2‎ ‎∴V＋F－＝2　∴F＝2V－4‎ ‎⒉　设一个凸多面体有V个顶点，‎ 求证：它的各面多边形的内角和为（V-2）·360°‎ 解：设此多面体的上底面有V上个顶点，下底面有V下个顶点 将其下底面剪掉，抻成平面图形则 V上·360°＋（V下－2）·180°＋（V下－2）·180°‎ ‎＝（V上＋V下－2）·360°‎ ‎＝（V－2）360°‎ ‎⒊　有没有棱数是7的简单多面体？说明理由 证明：∵V＋F－E＝2　，　∴V＋F＝7＋2＝9‎ ‎∵多面体的顶点数V≥4，面数F≥4‎ ‎∴只有两种情况V＝4，F＝5或V＝5，F＝4‎ 但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面 有四个面的多面体是四面体，也只有四个面，不可能有5个面 ‎∴没有棱数是7的简单多面体 ‎⒋　是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个在都有奇数条边 证明：设有一个多面体，有F（奇数）个面，并且每个面的边数 也都是奇数，则 但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的 ‎∴不存在这样的多面体 五、板书设计（略）‎ 六、课后记：‎