高中数学必修1教案：第五章（第5课时）实数与向量的积（2） 7页

课 题：实数与向量的积（2）‎ 教学目的：‎ ‎1了解平面向量基本定理；‎ ‎2掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法；‎ ‎3能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达 教学重点：平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示 教学难点：平面向量基本定理的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向 ‎2向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；‎ ‎3零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量， ‎ ‎②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量 ‎4平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；‎ ‎②我们规定0与任一向量平行向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ ‎5相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量 ‎6共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量 ‎7向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 ‎8．向量加法的交换律：+=+‎ ‎9．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)‎ ‎10．向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a - b = a + (-b) ‎ ‎11．差向量的意义： = a, = b, 则= a - b ‎ 即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 ‎12．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ ‎（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=‎ ‎13．运算定律 结合律：λ(μ)=(λμ) ‎ 分配律：(λ+μ)=λ+μ λ(+)=λ+λ ‎ ‎14． 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ 二、讲解新课：(共面向量定理)‎ 平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2‎ 探究：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；‎ ‎(2)基底不惟一，关键是不共线；‎ ‎(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；‎ ‎(4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被，，唯一确定的数量 三、讲解范例：‎ 例1 已知向量， 求作向量-25+3‎ 作法：（1）取点O，作=-25 =3‎ ‎ （2）作 OACB，即为所求-25+3‎ 例2 如图 ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和 ‎ 解：在 ABCD中 ， ∵=+=+ ，=-=- ‎ ‎∴=-=-(+)=--，‎ ‎==(-)=- ‎==+‎ ‎=-=-=-+‎ 例3已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，‎ 求证：+++=4‎ ‎ 证明：∵E是对角线AC和BD的交点 ‎ ∴==- ,==- ‎ 在△OAE中，+=‎ 同理 += ， += ，+=‎ 以上各式相加，得 +++=4‎ 例4如图，，不共线，=t (tÎR)用,表示 ‎ 解：∵=t ‎ ‎∴=+=+ t ‎ ‎=+ t(-)=+ t-t=(1-t) + t ‎ 四、课堂练习：‎ ‎1设e1、e2是同一平面内的两个向量,则有 Ae1、e2一定平行 ‎ Be1、e2的模相等 C同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R) D若e1、e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)‎ ‎2已知矢量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1、e2不共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系 A不共线 B共线 C相等 D无法确定 ‎3已知向量e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于 A3 B-3 C0 D2‎ ‎4若a、b不共线,且λa+μb=0(λ,μ∈R)则λ= ,μ= ‎ ‎5已知a、b不共线,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c与b共线,则λ1= ‎ ‎6已知λ1＞0,λ2＞0,e1、e2是一组基底,且a=λ1e1+λ2e2,则a与e1_____,‎ a与e2_________(填共线或不共线)‎ 参考答案：1D 2B 3A 4 0 0 5 0 6不共线 不共线 五、小结 平面向量基本定理，其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合 六、课后作业：‎ ‎1．如图，平行四边形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，H、M是AD、DC之中点，F使BF＝BC，以ａ、ｂ为基底分解向量与 分析：以ａ，ｂ为基底分解与，实为用ａ与ｂ表示向量与 解：由H、M、F所在位置有：‎ ‎=+=+=+=ｂ＋ａ，‎ ‎＝－＝＋－‎ ‎＝＋＝＋－＝ａ－ｂ ‎2．如图，O是三角形ABC内一点，PQ∥BC，且＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，＝с，求与 分析：由平面几何的知识可得△APQ∽△ABC，且对应边的比为ｔ，∴＝ｔ，转化向量的关系为：＝ｔ，＝ｔ，又由于已知和未知向量均以原点O为起点，所以把有关向量都用以原点O为起点的向量来表示，是解决问题的途径所在 解：∵PQ∥BC，且＝ｔ，有△APQ∽△ABC，且对应边比为ｔ（＝），即＝ｔ．‎ 转化为向量的关系有：＝ｔ，＝ｔ，‎ 又由于：＝－，＝－，‎ ‎＝－，＝－‎ ‎∴＝＋＝＋ｔ（－）‎ ‎＝ａ＋ｔ（ｂ－ａ）＝（１－ｔ）ａ＋ｔｂ,‎ ‎＝＋＝＋ｔ（－）‎ ‎＝ｔ（с－ａ）＋ａ＝(１－ｔ）ａ＋ｔс 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎ ‎1注意图形语言的应用 用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译 例1 如图，已知MN是△ABC的中位线，求证：MN＝BC且MN∥BC 分析：首先把图形语言：M、N是AB、AC的中点翻译成向量语言：＝，＝然后再把向量的一种语言转化为向量的另一种语言，即 ‎＝－＝－‎ ‎＝（－）＝‎ 最后又将向量语言＝翻译成图形语言就是：MN＝BC且MN∥BC ‎2向量法应用 例2已知平行四边形ABCD，E、F分别是DC和AB的中点，求证：AE∥CF 证明：因为E、F为DC、AB的中点，‎ ‎∴＝，＝，‎ 由向量加法法则可知：‎ ‎＝＋＝＋，＝＋＝＋‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴＝－，＝－，‎ ‎∴＝－－＝－（＋）＝－‎ ‎∴∥，∴AE∥CF 强化训练：‎ ‎1下面向量a、b共线的有（ ）‎ ‎(1)a=2e1,b=-2e2 (2)a=e1-e2,b=-2e1+2e2 ‎(3)a=4e1-e2,b=e1-e2 (4)a=e1+e2,b=2e1-2e2(e1、e2不共线) A(2)(3) B(2)(3)(4) C(1)(3)(4) D(1)(2)(3)(4)‎ ‎2设一直线上三点A、B、P满足=λ(λ≠±1),O是空间一点,则用 、表示式为（ ） A =+λ B =λ+(1-λ) ‎ C = D ‎3若a、b是不共线的两向量,且=λ1a+b, =a+λ2b(λ1、λ2∈R),则A、B、C三点共线的充要条件为（ ）‎ Aλ1=λ2=-1 Bλ1=λ2=1 Cλ1λ2+1=0 Dλ1λ2-1=0‎ ‎4若a=-e1+3e2,b=4e1+2e2,c=-3e1+12e2,则向量a写为λ1b+λ2c的形式是 ‎ ‎5已知两向量e1、e2不共线,a=2e1+e2,b=3e1-2λe2,若a与b共线,则实数λ= ‎ ‎6设平面内有四边形ABCD和点O, =a, =b, =c, ‎ ‎ =d,a+c=b+d,则四边形ABCD的形状是 ‎ ‎7设、不共线,点P在O、A、B所在的平面内,且=(1-t) +t(t∈R),求证A、B、P三点共线 ‎8当不为零的两个向量a、b不平行时,求使pa+qb=0成立的充要条件 ‎9已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1、e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ、μ,使d=λa+μb与c共线? 参考答案：1A 2C 3D 4- b+c 5- 6平行四边形 ‎7(略) 8p=q=0 9存在,λ=-2μ能使d与c共线