高考卷：16年全国卷三数学 19页

2016 全国卷三数学 满分: 班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________ 一、单选题（共 12 小题） 1． 设集合 ，则 =( ) A． B． C． D． 2． 若 ，则 =( ) A．1 B．-1 C． D． 3． 已知向量 , 则 （ ） A． B． C． D． 4． 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的 雷达图。图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 ，B 点表示四月的平均最低气温约为 。下面叙述不正确的是（ ） A．各月的平均最低气温都在 以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均气温高于 的月份有 5 个 5． 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M，I,N 中的一个字母，第 二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ） A ． B ． C ． D ． 6． 若 ，则 =( ) A ． B ． C ． D ． 7． 执行右面的程序框图，如果输入的 ，那么输出的 ( ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6 8． 在 中， ，BC 边上的高等于 ,则 （ ） A B ． C ． D ． ． 9． 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表 面积为（ ） A ． B ． C ． 9 0 D ． 8 1 10． 在封闭的直三棱柱 内有一个体积为 的球，若 ， ， ，则 的最大值是( ) A ． B ． C ． D ． 11． 已知 为坐标原点， 是椭圆 ： 的左焦点， 分别为 的左， 右顶点 为 上一点，且 ⊥ 轴.过点 的直线 与线段 交于点 ，与 轴交于点 .若直线 经过 的中点，则 的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ． 12．已知 ，则（ ） A ． b < a < c B ． a < b < c C ． b < c < a D ． c < a < b 二、填空题（共 4 小题） 13. 设 满足约束条件 则 的最小值为______. 14. 函数 的图像可由函数 的图像至少向右平移 _________个单位长度得到。 15. 已知直线 ： 与圆 交于 两点，过 分别作 的垂线与 轴交于 两点，则 ________. 16. 已知 为偶函数，当 时， ，则曲线 在点(1,2)处的切线方 程式______________． 三、解答题（共 8 小题） 17. 已知各项都为正数的数列 满足 ， . （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）求 的通项公式. 18. 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 （Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明 （Ⅱ）建立 关于 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理 量。 附注： 参考数据： ， ， ，≈2.646. 参考公式： 回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 19. 如图，四棱锥 中， 底面 ， ∥ ， ， ， 为线段 上一点， ， 为 的中点． （1）求证： 平面 （2）求四面体 的体积 20. 已知抛物线 的焦点为 ，平行于 轴的两条直线 分别交 于 两点，交 的准线于 ， 两点. （I）若 在线段 上， 是 的中点，证明 ； （II）若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程. 21. 设函数 ． （Ⅰ）讨论 的单调性； （Ⅱ）证明当 时， ； （Ⅲ）设 ，证明当 时， ． 22. 【选修 4-1：几何证明选讲】 如图， 中 的中点为 ，弦 ， 分别交 于 ， 两点． （I）若 ，求 的大小； （II）若 的垂直平分线与 的垂直平分线交于点 ，证明 ． 23. 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，以坐标原点为极 点，以 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （I）写出 的普通方程和 的直角坐标方程； （II）设点 在 上，点 在 上，求 的最小值及此时 的直角坐标. 24. 【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 （I）当 时，求不等式 的解集； （II）设函数 当 时，f（x）+g（x）≥3，求 的取值范 围． 答案部分 1.考点：集合的运算 试题解析：依据补集的定义，从集合 中去掉集合 ，剩下的四个 元素为 ，故 ，故应选答案 ． 答案：C 2.考点：复数综合运算 试题解析：因为 ，则其共轭复数为 ，其模为 ，故 ，应选答案 ． 答案：D 3.考点：数量积的应用 试题解析：由 ，则 答案：A 4.考点：样本的数据特征 试题解析：从题设中提供的信息及图中标注的数据可以看出：深色的图案是一年十二个月中 各月份的平均最低气温， 稍微浅一点颜色的图案是一年十二个月中中各月份的平均最高气温，故结合所提供的四个选 项，可以确定 是不正确的， 因为从图中可以看出：平均最高气温高于 20 只有 7、8 两个月份，故应选答案 ． 答案：D 5.考点：古典概型 试题解析：前 2 位共有 种可能，其中只有 1 种是正确的密码，因此所求概率为 ．故选 C． 答案：C 6.考点：恒等变换综合 试题解析： ．故选 D． 答案：D 7.考点：算法和程序框图 试题解析：运行程序框图： 循环 此时 满足，输出 ，选 B 答案：B 8.考点：解斜三角形 试题解析：由题意得， ， ∴ ， ， ∴ ，故选 D. 答案：D 9.考点：空间几何体的三视图与直观图 试题解析：由题意得，该几何体为一四棱柱，∴表面积为 ，故选 B. 答案：B 10.考点：空间几何体的表面积与体积 试题解析：由题意可知，要使求的体积最大，则与直三棱柱的若干个面相切，设球的半径为 R，则 的内切球的半径为 2， ，又 ，所以 答案：B 11.考点：椭圆 试题解析：由题意得， ， ，根据对称性，不妨 ，设 ， ∴ ， ，∴直线 BM： ，又∵直线 BM 经过 OE 中点， ∴ ，故选 A. 答案：A 12.考点：对数与对数函数 试题解析： ， ，又函数 在 上是增函数，所以 ．故选 A． 答案：A 13.考点：线性规划 试题解析：可行域为一个三角形 ABC 及其内部，其中 ，直线 过点 B 时取最小值-10． 答案：-10 14.考点：三角函数图像变换 试题解析： ，所以至少向右平移 答案： 15.考点：直线与圆的位置关系 试题解析：由题意得： ,因此 答案：3 16.考点：导数的概念和几何意义 试题解析： 答案： 17.考点：等比数列 试题解析：（I） 同理 解得 （Ⅱ）由 得， 是各项都为正数的数列 所以 是首项 ，公比为 的等比数列 答案：（1） ；（2） . 18.考点：变量相关 试题解析：（1）变量 与 的相关系数 ， 又 ， ， ， ， ， 所以 ， 故可用线性回归模型拟合变量 与 的关系. （2） ， ，所以 , , 线性回归方程为 当 时， 预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理 1.83 亿吨． 答案：（1）可用线性回归模型拟合变量 与 的关系.（2）我们可以预测 2016 年我国生活垃 圾无害化处理 亿吨. 19.考点：立体几何综合 试题解析：（1）取 PB 中点 Q，连接 AQ、NQ， ∵N 是 PC 中点，NQ//BC，且 NQ= BC， 又 ，且 ， ∴ ，且 ． ∴ 是平行四边形． ∴ ． 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ． (2)由(1) 平面 ABCD． ∴ ． ∴ ． 答案：（I）见解析；（II） ． 20.考点：圆锥曲线综合 试题解析：(Ⅰ)连接 RF，PF， 由 AP=AF，BQ=BF 及 AP//BQ， 是 中点， 又 (Ⅱ)设 ， ，准线为 ， ， 设直线 与 轴交点为 ， ， ∵ ，∴ ，∴ ，即 ． 设 中点为 ，由 得 ， 又 ， ∴ ，即 ． ∴ 中点轨迹方程为 ． 答案：（I）见解析；（II） 21.考点：导数的综合运用 试题解析：（I） 令 解得 令 解得 所以函数 的单调减区间为 单调增区间为 （II） 所以 在区间 单调减 要证 只需证 即证 在 的最小值大于 0 在 为增函数 所以 所以 时， （III） 令 则 再求导 所以 在 R 上单减 同样 在上单减 即 由 所以 在 上单增 所以 答案：（I）减区间 ；增区间为 ;（II）（III）见解析． 22.考点：圆 试题解析：连接 ，交 于点 ，则 中， （II） 因为 ，所以 ， 由此可知 四点共圆，其圆心既在 的垂直平分线上， 又在 的垂直平分线上， 故 就是过 四点的圆的圆心，所以 在 的垂直平分线上， 又 也在 的垂直平分线上，因此 ． 答案：(I)60°（II）见解析 23.考点：极坐标方程参数和普通方程互化 试题解析： 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 由题意，可设点 的直角坐标为 ，因为 是直线，所以 的最小值即 为 到 的距离 的最小值， 当且仅当 取得最小值，最小值为 ，此时 的直角坐标为 答案： 24.考点：绝对值不等式 试题解析：（I）当 时， 解不等式 解得 因此 的解集 （II） 当 当 时等号成立，所以当 时， 等价于 ① 当 时，①等价于 ，无解 当 时，①等价于 ，解得 所以 的取值范围是 ． 答案：(I) ;(II)