高中人教a版数学必修4：第28课时 两角和与差的正弦、余弦 word版含解析 4页

第 28 课时 两角和与差的正弦、余弦 课时目标 1.掌握两角和的余弦，两角和与差的正弦公式． 2．能熟练运用公式进行恒等变形． 识记强化 cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ 课时作业 一、选择题 1．cos5π 12cos π 12 ＋sin5π 12sin π 12 的值为( ) A.1 2 B．0 C. 3 2 D．1 答案：A 解析：由两角差的余弦公式，得 cos5π 12cos π 12 ＋sin5π 12sin π 12 ＝cos 5π 12 － π 12 ＝cosπ 3 ＝1 2 ，故选 A. 2．已知 cos α－π 6 ＋sinα＝4 3 5 ，则 sin(α＋7π 6 )的值是( ) A．－2 3 5 B.2 3 5 C．－4 5 D.4 5 答案：C 解析：原方程可化为 3 2 cosα＋3 2sinα＝4 5 3， 即 sin α＋π 6 ＝4 5 ， ∴sin α＋7 6π ＝－sin α＋π 6 ＝－4 5 ，故选 C. 3．函数 f(x)＝cos x＋π 4 －cos x－π 4 是( ) A．周期为π的偶函数 B．周期为 2π的偶函数 C．周期为π的奇函数 D．周期为 2π的奇函数 答案：D 解析：因为 f(x)＝cos x＋π 4 －cos x－π 4 ＝ 2 2 cosx－ 2 2 sinx － 2 2 cosx＋ 2 2 sinx ＝－ 2sinx，所以函数 f(x)的最小正周期为2π 1 ＝2π.又 f(－x)＝－ 2sin(－x)＝ 2sinx＝－f(x)，所以 函数 f(x)为奇函数，故选 D. 4．cos(x＋2y)＋2sin(x＋y)siny 可化简为( ) A．cosx B．sinx C．cos(x＋y) D．cos(x－y) 答案：A 解析：原式＝cos[(x＋y)＋y]＋2sin(x＋y)siny ＝cos(x＋y)cosy－sin(x＋y)siny＋2sin(x＋y)siny ＝cos(x＋y)cosy＋sin(x＋y)siny ＝cosx. 5．在 3sinx＋cosx＝2a－3 中，a 的取值范围是( ) A.1 2 ≤a≤5 2 B．a<1 2 C．a>5 2 D．－5 2 ≤a≤－1 2 答案：A 解析：∵ 3sinx＋cosx＝2a－3，∴ 3 2 sinx＋1 2cosx＝a－3 2. ∴sin x＋π 6 ＝a－3 2. ∵|sin x＋π 6 |≤1， ∴|α－3 2|≤1，即－1≤a－3 2 ≤1， ∴1 2 ≤a≤5 2. 6．若 sinα·sinβ＝1，则 cos(α＋β)的值为( ) A．0 B．1 C．±1 D．－1 答案：D 解析：由 sinα·sinβ＝1 可知 sinα，sinβ同时为 1 或－1，此时 cosα，cosβ均等于 0. cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－1. 二、填空题 7．若 cosα＝15 17 ，α∈ 3π 2 ，2π ，则 cos π 3 －α ＝________. 答案：15－8 3 34 解析：∵cosα＝15 17 ，α∈ 3π 2 ，2π ，∴sinα＝－ 8 17 ∴cos π 3 －α ＝cosπ 3·cosα＋sinπ 3·sinα＝15－8 3 34 8．若在△ABC 中，2cosBsinA＝sinC，则△ABC 的形状一定是________． 答案：等腰三角形 解析：△ABC 中 C＝π－(A＋B) sinC＝sin(A＋B) ∴2cosBsinA＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB 即 cosBsinA－cosAsinB＝0 ∴sin(A－B)＝0 ∴A＝B. 9．已知 sin 3π 4 ＋α ＝ 5 13 ，cos β－π 4 ＝3 5 ，且 0<α<π 4<β<3π 4 ，则 sin(α＋β)＝________. 答案：56 65 解析：由 sin 3π 4 ＋α ＝ 5 13 ，且 0<α<π 4 ，得 cos 3π 4 ＋α ＝－12 13.由 cos β－π 4 ＝3 5 ，π 4<β<3π 4 ， 得 sin β－π 4 ＝4 5. 故 cos 3π 4 ＋α ＋ β－π 4 ＝cos 3π 4 ＋α cos β－π 4 － sin 3π 4 ＋α sin β－π 4 ＝－56 65 ， 即 cos α＋β＋π 2 ＝－sin(α＋β)＝－56 65 ， 所以 sin(α＋β)＝56 65. 三、解答题 10．已知 sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝3 5 ，β是第三象限角，求 sin β＋5π 4 的值． 解：∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα ＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα ＝sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝3 5 ∴sinβ＝－3 5. 又∵β为第三象限的角， ∴cosβ＝－4 5 ， ∴sin β＋5π 4 ＝sinβcos5π 4 ＋cosβsin5π 4 ＝－3 5 × － 2 2 ＋ －4 5 × － 2 2 ＝7 2 10 . 11．若 0<α<π 2 ，－π 2<β<0，cos 5π 4 ＋α ＝－1 3 ，cos π 4 －β 2 ＝ 3 3 ，求 cos α＋β 2 的值． 解：∵cos 5π 4 ＋α ＝－1 3 ，∴cos π 4 ＋α ＝1 3. ∵0<α<π 2 ，∴π 4<α＋π 4<3π 4 ，∴sin π 4 ＋α ＝2 2 3 . ∵－π 2<β<0，∴π 4<π 4 －β 2<π 2. 又 cos π 4 －β 2 ＝ 3 3 ， ∴sin π 4 －β 2 ＝ 6 3 ， ∴cos α＋β 2 ＝cos π 4 ＋α － π 4 －β 2 ＝cos π 4 ＋α cos π 4 －β 2 ＋ sin π 4 ＋α sin π 4 －β 2 ＝1 3 × 3 3 ＋2 2 3 × 6 3 ＝5 3 9 . 能力提升 12．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－ 3cos(θ＋15°)的值等于( ) A．±1 B．1 C．－1 D．0 答案：D 解析：原式＝sin[(θ＋15°)＋60°]＋cos[(θ＋15°)＋30°]－ 3cos(θ＋15°)＝1 2sin(θ＋15°)＋ 3 2 cos(θ＋15°)＋ 3 2 cos(θ＋15°)－1 2sin(θ＋15°)－ 3cos(θ＋15°)＝0. 13．已知向量 a＝(sinθ，－2)与 b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈ 0，π 2 . (1)求 sinθ和 cosθ的值； (2)若 5cos(θ－φ)＝3 5cosφ，0<φ<π 2 ，求 cosφ的值． 解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝sinθ－2cosθ＝0， 即 sinθ＝2cosθ. 又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1， 即 cos2θ＝1 5 ，∴sin2θ＝4 5. 又θ∈ 0，π 2 ，∴sinθ＝2 5 5 ，cosθ＝ 5 5 . (2)∵5cos(θ－φ)＝5(cosθcosφ＋sinθsinφ) 5cosφ＋2 5sinφ＝3 5cosφ， ∴cosφ＝sinφ， ∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ， 即 cos2φ＝1 2 ， 又 0<φ<π 2 ， ∴cosφ＝ 2 2 .