2017年高考真题——理科数学（天津卷）原卷版 10页

绝密★启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷 时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其 他答案标号。 2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： ·如果事件 A，B 互斥，那么 ·如果事件 A，B 相互独立，那么 P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)． ·棱柱的体积公式 V=Sh. ·球的体积公式 . 其中 S 表示棱柱的底面面积， 其中 表示球的半径． h 表示棱柱的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合 ，则 （A） （B） （C） （D） （2）设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为 （A） （B）1（C） （D）3 34 3V R  R {1,2,6}, {2,4}, { | 1 5}A B C x x      R ( )A B C   {2} {1,2,4} {1,2,4,6} { | 1 5}x x   R ,x y 2 0, 2 2 0, 0, 3, x y x y x y          z x y  2 3 3 2 （3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 的值为 24，则输出 的值为 （A）0 （B）1（C）2（D）3 （4）设 ，则“ ”是“ ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 （5）已知双曲线 的左焦点为 ，离心率为 .若经过 和 两点的直线平 行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 （A） （B） （C） （D） （6）已知奇函数 在 R 上是增函数， .若 ， ， ，则 a，b， c 的大小关系为 （A） （B） （C） （D） （7）设函数 ， ，其中 ， .若 ， ，且 的最小 正周期大于 ，则 （A） ， （B） ， （C） ， （D） ， （8）已知函数 设 ，若关于 x 的不等式 在 R 上恒成立，则 a 的取 值范围是 N N  R π π| |12 12   1sin 2  2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    F 2 F (0,4)P 2 2 14 4 x y  2 2 18 8 x y  2 2 14 8 x y  2 2 18 4 x y  ( )f x ( ) ( )g x xf x 2( log 5.1)a g  0.8(2 )b g (3)c g a b c  c b a  b a c  b c a  ( ) 2sin( )f x x   xR 0  | |   5( ) 28f   ( ) 08f   ( )f x 2 2 3  12  2 3  12   1 3  24   1 3  24  2 3, 1, ( ) 2 , 1. x x x f x x xx        aR ( ) | |2 xf x a  （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共 12 小题，共 110 分。 二. 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. （9）已知 ，i 为虚数单位，若 为实数，则 a 的值为 . （10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 . （11）在极坐标系中，直线 与圆 的公共点的个数为___________. （12）若 ， ，则 的最小值为___________. （ 13 ） 在 中 ， ， ， . 若 ， ， 且 ，则 的值为___________. （14）用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样 的四位数一共有___________个.（用数字作答） 三. 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分 13 分） 在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， ， . （Ⅰ）求 和 的值； （Ⅱ）求 的值. 16.（本小题满分 13 分） 从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 . （Ⅰ）设 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 的分布列和数学期望； （Ⅱ）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率. 47[ ,2]16 47 39[ , ]16 16 [ 2 3,2] 39[ 2 3, ]16 aR i 2 i a   4 cos( ) 1 06     2sin  ,a bR 0ab  4 44 1a b ab   ABC△ 60A  ∠ 3AB  2AC  2BD DC  ( )AE AC AB    R   4AD AE     ABC△ , ,A B C , ,a b c a b 5, 6a c  3sin 5B  b sin A πsin(2 )4A 1 1 1, ,2 3 4 X X （17）（本小题满分 13 分） 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC， .点 D，E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA=AC=4，AB=2. （Ⅰ）求证：MN∥平面 BDE； （Ⅱ）求二面角 C-EM-N 的正弦值； （Ⅲ）已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 ，求线段 AH 的长. 18.（本小题满分 13 分） 已 知 为 等 差 数 列 ， 前 n 项 和 为 ， 是 首 项 为 2 的 等 比 数 列 ， 且 公 比 大 于 0 ， , ， . （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）求数列 的前 n 项和 . （19）（本小题满分 14 分） 设椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，离心率为 .已知 是抛物线 的焦点， 到抛物线的准线 的距离为 . （I）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II）设 上两点 ， 关于 轴对称，直线 与椭圆相交于点 （ 异于点 ），直线 与 轴相交 于点 .若 的面积为 ，求直线 的方程. 90BAC   7 21 { }na ( )nS n N { }nb 2 3 12b b  3 4 12b a a  11 411S b { }na { }nb 2 2 1{ }n na b  ( )n N 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b    F A 1 2 A 2 2 ( 0)y px p  F l 1 2 l P Q x AP B B A BQ x D APD△ 6 2 AP （20）（本小题满分 14 分） 设 ，已知定义在 R 上的函数 在区间 内有一个零点 ， 为 的导函数. （Ⅰ）求 的单调区间； （Ⅱ）设 ，函数 ，求证： ； （ Ⅲ ） 求 证 ： 存 在 大 于 0 的 常 数 ， 使 得 对 于 任 意 的 正 整 数 ， 且 满 足 . aZ 4 3 2( ) 2 3 3 6f x x x x x a     (1,2) 0x ( )g x ( )f x ( )g x 0 0[1, ) ( ,2]m x x  0( ) ( )( ) ( )h x g x m x f m   0( ) ( ) 0h m h x  A ,p q 0 0[1, ) ( ,2],p x xq   0 4 1| |p xq Aq  天津理数答案 1-4BDCA 5-8BCAA 9.−2； 10. ； 11.2； 12.4 ； 13. ； 14.1080 15.（Ⅰ）解：在 中，因为 ，故由 ，可得 .由已知及余弦定理，有 ，所以 . 由正弦定理 ,得 . 所以， 的值为 ， 的值为 . （Ⅱ）解：由（Ⅰ）及 ，得 ，所以 ， .故 . 16.（Ⅰ）解：随机变量 的所有可能取值为 0,1,2,3. ， ， ， . 所以，随机变量 的分布列为 0 1 2 3 9π 2 3 11 ABC△ a b 3sin 5B  4cos 5B  2 2 2 2 cos 13b a c ac B    13b  sin sin a b A B sin 3 13sin 13 a BA b  b 13 sin A 3 13 13 a c 2 13cos 13A  12sin 2 2sin cos 13A A A  2 5cos2 1 2sin 13A A    π π π 7 2sin(2 ) sin 2 cos cos2 sin4 4 4 26A A A    X 1 1 1 1( 0) (1 ) (1 ) (1 )2 3 4 4P X         1 1 1 1 1 1 1 1 1 11( 1) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )2 3 4 2 3 4 2 3 4 24P X                  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( 2) (1 ) (1 ) (1 )2 3 4 2 3 4 2 3 4 4P X               1 1 1 1( 3) 2 3 4 24P X      X X P 1 4 11 24 1 4 1 24 随机变量 的数学期望 . （Ⅱ）解：设 表示第一辆车遇到红灯的个数， 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 . 所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 . （17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体 几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分 13 分. 如图，以 A 为原点，分别以 ， ， 方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得 A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1）， N（1，2，0）. （Ⅰ）证明： =（0，2，0）， =（2，0， ）.设 ，为平面 BDE 的法向量， 则 ，即 .不妨设 ，可得 .又 =（1，2， ），可得 . 因为 平面 BDE，所以 MN//平面 BDE. （ Ⅱ ） 解 ： 易 知 为 平 面 CEM 的 一 个 法 向 量 . 设 为 平 面 EMN 的 法 向 量 ， 则 ， 因 为 ， ， 所 以 . 不 妨 设 ， 可 得 . 因此有 ，于是 . X 1 11 1 1 13( ) 0 1 2 34 24 4 24 12E X          Y Z ( 1) ( 0, 1) ( 1, 0) ( 0) ( 1) ( 1) ( 0)P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z              1 11 11 1 11 4 24 24 4 48     11 48 AB AC AP DE DB 2 ( , , )x y zn 0 0 DE DB        n n 2 0 2 2 0 y x z     1z  (1,0,1)n MN 1 0MN   n MN  1 (1,0,0)n 2 ( , , )x y zn 2 2 0 0 EM MN        n n (0, 2, 1)EM    (1,2, 1)MN   2 0 2 0 y z x y z        1y  2 ( 4,1, 2)  n 1 2 1 2 1 2 4cos , || | 21    n nn n | n n 1 2 105sin , 21 n n 所以，二面角 C—EM—N 的正弦值为 . （Ⅲ）解：依题意，设 AH=h（ ），则 H（0，0，h），进而可得 ， .由 已 知 ， 得 ， 整 理 得 ， 解 得 ， 或 . 所以，线段 AH 的长为 或 . 18.【解析】（I）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 . 由已知 ，得 ，而 ，所以 . 又因为 ，解得 .所以， . 由 ，可得 ①. 由 ，可得 ②， 联立①②，解得 ， ，由此可得 . 所以，数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 . （II）解：设数列 的前 项和为 ， 由 ， ，有 ， 故 ， ， 上述两式相减，得 得 . 所以，数列 的前 项和为 . 105 21 0 4h  ( 1, 2, )NH h   ( 2,2,2)BE   2 | | | 2 2 | 7| cos , | 21| || | 5 2 3 NH BE hNH BE NH BE h              210 21 8 0h h   8 5h  1 2h  8 5 1 2 { }na d { }nb q 2 3 12b b  2 1( ) 12b q q  1 2b  2 6 0q q   0q  2q  2n nb  3 4 12b a a  13 8d a  11 4=11S b 1 5 16a d  1 1a  3d  3 2na n  { }na 3 2na n  { }nb 2n nb  2 2 1{ }n na b  n nT 2 6 2na n  1 2 1 2 4n nb     2 2 1 (3 1) 4n n na b n    2 32 4 5 4 8 4 (3 1) 4n nT n          2 3 4 14 2 4 5 4 8 4 (3 4) 4 (3 1) 4n n nT n n              2 3 13 2 4 3 4 3 4 3 4 (3 1) 4n n nT n              1 1 12 (1 4 ) 4 (3 1) 41 4 (3 2) 4 8. n n n n n              13 2 843 3 n n nT    2 2 1{ }n na b  n 13 2 843 3 nn    19.（Ⅰ）解：设 的坐标为 .依题意， ， ， ，解得 ， ， ， 于是 . 所以，椭圆的方程为 ，抛物线的方程为 . （Ⅱ）解：设直线 的方程为 ，与直线 的方程 联立，可得点 ，故 .将 与 联立，消去 ，整理得 ，解得 ，或 .由点 异于点 ，可得点 .由 ，可学*科.网得直线 的方 程为 ，令 ，解得 ，故 . 所以 .又因为 的面积为 ，故 ，整理得 ，解得 ，所以 . 所以，直线 的方程为 ，或 . 20.（Ⅰ）解：由 ，可得 ， 进而可得 .令 ，解得 ，或 . 当 x 变化时， 的变化情况如下表： x + - + ↗ ↘ ↗ 所以， 的单调递增区间是 ， ，单调递减区间是 . （Ⅱ）证明：由 ，得 ， . 令 函 数 ， 则 . 由 （ Ⅰ ） 知 ， 当 时 ， F ( ,0)c 1 2 c a  2 p a 1 2a c  1a  1 2c  2p  2 2 2 3 4b a c   2 2 4 13 yx   2 4y x AP 1( 0)x my m   l 1x   2( 1, )P m  2( 1, )Q m 1x my  2 2 4 13 yx   x 2 2(3 4) 6 0m y my   0y  2 6 3 4 my m   B A 2 2 2 3 4 6( , )3 4 3 4 m mB m m      2( 1, )Q m BQ 2 2 2 6 2 3 4 2( )( 1) ( 1)( ) 03 4 3 4 m mx ym m m m          0y  2 2 2 3 3 2 mx m   2 2 2 3( ,0)3 2 mD m   2 2 2 2 2 3 6| | 1 3 2 3 2 m mAD m m     APD△ 6 2 2 2 1 6 2 6 2 3 2 | | 2 m m m   23 2 6 | | 2 0m m   6| | 3m  6 3m   AP 3 6 3 0x y   3 6 3 0x y   4 3 2( ) 2 3 3 6f x x x x x a     3 2( ) ( ) 8 9 6 6g x f x x x x     2( ) 24 18 6g x x x    ( ) 0g x  1x   1 4x  ( ), ( )g x g x ( , 1)  1( 1, )4 1( , )4  ( )g x ( )g x ( )g x ( , 1)  1( , )4  1( 1, )4 0( ) ( )( ) ( )h x g x m x f m   0( ) ( )( ) ( )h m g m m x f m   0 0 0( ) ( )( ) ( )h x g x m x f m   1 0( ) ( )( ) ( )H x g x x x f x   1 0( ) ( )( )H x g x x x   [1,2]x ，故当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.因此，当 时， ，可得 . 令函数 ，则 .由（Ⅰ）知， 在 上单调递 增，故当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递 减.因此，当 时， ，可得 . 所以， . （III）证明：对于任意的正整数 ， ，且 ， 令 ，函数 . 由（II）知，当 时， 在区间 内有零点； 当 时， 在区间 内有零点. 所以 在 内至少有一个零点，不妨设为 ，则 . 由（I）知 在 上单调递增，故 ， 于是 . 因为当 时， ，故 在 上单调递增， 所以 在区间 上除 外没有其他的零点，而 ，故 . 又因为 ， ， 均为整数，所以 是正整数， 从而 . 所以 .所以，只要取 ，就有 . ( ) 0g x  0[1, )x x 1 ( ) 0H x  1( )H x 0( ,2]x x 1 ( ) 0H x  1( )H x 0 0[1, ) ( ,2]x x x  1 1 0 0( ) ( ) ( ) 0H x H x f x    1( ) 0, ( ) 0H m h m 即 2 0 0( ) ( )( ) ( )H x g x x x f x   2 0( ) ( ) ( )H x g x g x   ( )g x [1,2] 0[1, )x x 2 ( ) 0H x  2 ( )H x 0( ,2]x x 2 ( ) 0H x  2 ( )H x 0 0[1, ) ( ,2]x x x  2 2 0( ) ( ) 0H x H x  2 0( ) 0, ( ) 0H m h x 即 0( ) ( ) 0h m h x  p q 0 0[1 ) ( , ], 2p x xq   pm q 0( ) ( )( ) ( )h g m xx x mf   0[1 ),m x ( )h x 0( , )m x 0( ,2]m x ( )h x 0( ),x m ( )h x (1,2) 1x 1 1 0( ) ( )( ) ( ) 0p ph g x fqx qx    ( )g x [1,2] 10 ( ) ( )1 2( )g xg g   4 3 2 2 3 4 0 4 1 ( ) | ( ) | | 2 3 3 6 || | | |( ) ( ) (2 )2 p pf fp p p q p q pq aqq qxq g x g g q        [1 2],x ( ) 0g x  ( )f x [1,2] ( )f x [1,2] 0x 0 p xq  ( ) 0pf q  p q a 4 3 2 2 3 4| 2 3 3 6 |p p q p q pq aq    4 3 2 2 3 4| 2 3 3 6 | 1p p q p q pq aq     0 4 1| 2| ( ) p xq g q  ( )2A g 0 4 1| |p xq Aq 