全国高考数学试题及其解析 5页

‎1953年全国高考数学试题及其解析 一、下列六题顺次解答,不必抄题（但须写明题号:甲,乙,丙,……）.结果务须明确,过程可以简单.‎ 丁、直角三角形弦上半圆的面积等于勾上半圆与股上半圆 面积之和,试证明之.‎ 戊、已知球的半径为r,求内接正方体的体积.‎ 己、已知三角形的一边之长为a ,两邻角为β 及γ ,求计算边 长 b的计算公式.‎ 二、描绘y=3x2-7x-1之图象,并按下列条件分别求x 的值的范围:‎ ‎(i)y>0; (ii)y<0.‎ 三、假设两圆互相外切,求证用连心线段为直径所作的圆必与前两圆的外公切线相切.‎ 五、有一直圆锥,全面积为a;与之同底同高之直圆柱全面积为a′.求该圆锥高与母线之比.‎ ‎1954年试题答案 一、下列六题顺次解答,不必抄题,结果务须明确,过程可以简单. ‎ 乙、解:原式可化为 于是有 丙、解:由 (3.02)4=(3+0.02)4‎ ‎=34+4×33×0.02+6×32×(0.02)2‎ ‎+4×3×(0.02)3+(0.02)4,‎ 可知第4项的值已小于0.01,所以,计算可到第3项为止,其误差必小于千分之一.‎ ‎(3.02)4 =34+4×33×0.02+6×32×(0.02)2‎ ‎=81+2.16+0.0216‎ ‎=83.182‎ 丁、证:设直角三角形的勾为a,股为b,弦为c,则有 c2=a2+b2‎ 即弦上半圆面积=勾上半圆面积+股上半圆的面积.‎ 戊、解:内接正方体的中心即该球的球心.正方体过中心的对角线为该球的直径,故其长为2r.若设正方体的边长为a,则有 所以内接正方体的体积 己、解:由正弦定理可知 二、解:将原方程变形,可得 抛物线与x轴的交点为:‎ 当y>0时,x的取值范围为:‎ 当y<0时,x的取值范围为: ‎ 三、证明:设⊙O1及⊙O2为互相外切的二圆,其中一外公切线为A‎1A2,切点A1及A2（如图）,令点O为连心线O1O2的中点,过O作OA⊥A‎1A2.‎ ‎∴ 以O1O2为直径,即以O为圆心,OA为半径的圆必与直线A‎1A2相切.‎ 同理可证,此圆必切于⊙O1及⊙O2的另外一条外公切线.‎ cosx+sinx=(cosx+sinx)2(cosx-sinx),‎ ‎(cosx+sinx)(1-cos2x+sinx2)=0,‎ ‎2(cosx+sinx)·sin2x=0,‎ ‎∴ cosx+sinx=0,sin2x=0.‎ 由方程 cosx+sinx=0得,tgx=-1．‎ 由方程 sin2x=0,得 x=kπ（k为整数）.‎ 由检验可知 五、解:设直圆锥的高为h,底面半径为R,母线长为l,则 ‎∴ ‎2a(R+h)=a(R+l).‎ 两边同乘以,可得 等式两边平方,‎ ‎=‎16a(‎2a-a′)3>0,‎ ‎∴该一元二次方程有两个实根,解得 即为圆锥的高与母线的比.‎