2018年高考真题——理科数学（浙江卷） 解析版 17页

绝密★启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数 学 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页，选择题部分 1 至 2 页；非选择题部分 3 至 4 页。 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定 的位置上。 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的 作答一律无效。 参考公式： 若事件 A，B 互斥，则 若事件 A，B 相互独立，则 若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，则 n 次 独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 台体的体积公式 其中 分别表示台体的上、下底面积， 表示 台体的高 柱体的体积公式 其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高 锥体的体积公式 其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高 球的表面积公式 球的体积公式 其中 表示球的半径 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1. 已知全集 U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则 A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5} 【答案】C 【解析】分析:根据补集的定义可得结果. 详解：因为全集 ， ，所以根据补集的定义得 , 故选 C. 点睛：若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解． 2. 双曲线 的焦点坐标是 A. (− ，0)，( ，0) B. (−2，0)，(2，0) C. (0，− )，(0， ) D. (0，−2)，(0，2) 【答案】B 【解析】分析:根据双曲线方程确定焦点位置，再根据 求焦点坐标. 详解：因为双曲线方程为 ，所以焦点坐标可设为 ， 因为 ，所以焦点坐标为 ，选 B. 点睛：由双曲线方程 可得焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，渐近线方 程为 . 3. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】分析:先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果. 详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为 2，底面为直角梯形，上下底分别为 1，2，梯形的高 为 2，因此几何体的体积为 选 C. 点睛：先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等. 4. 复数 (i 为虚数单位)的共轭复数是 A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i 【答案】B 【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果. 详解： ，∴共轭复数为 ，选 B. 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其 运算技巧和常规思路，如 . 其次要熟悉复数的相关基本概念，如 复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭复数为 . 5. 函数 y= sin2x 的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在 上的符号，即可判断选择. 详解：令 ， 因为 ，所以 为奇函数，排除选项 A,B; 因为 时， ，所以排除选项 C，选 D. 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置， 由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇 偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 6. 已知平面 α，直线 m，n 满足 m α，n α，则“m∥n”是“m∥α”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】分析:根据线面平行的判定定理得充分性成立，而必要性显然不成立. 详解：因为 ，所以根据线面平行的判定定理得 . 由 不能得出 与 内任一直线平行，所以 是 的充分不必要条件， 故选 A. 点睛：充分、必要条件的三种判断方法： （1）定义法：直接判断“若 则 ”、“若 则 ”的真假．并注意和图示相结合，例如“ ⇒ ”为真，则 是 的充分 条件． （2）等价法：利用 ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇔ 与非 ⇔非 的等价关系，对于条件或结论是否定 式的命题，一般运用等价法． （3）集合法：若 ⊆ ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ＝ ，则 是 的充要条件． 7. 设 01)上两点 A，B 满足 =2 ，则当 m=___________时，点 B 横坐标的 绝对值最大． 【答案】5 【解析】分析:先根据条件得到 A,B 坐标间的关系，代入椭圆方程解得 B 的纵坐标，即得 B 的横坐标关于 m 的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法. 详解：设 ，由 得 因为 A,B 在椭圆上,所以 ， 与 对应相减得 ，当且仅当 时取最大值. 点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为 在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于 函数最值的探求来使问题得以解决. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. 已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P（ ）． （Ⅰ）求 sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角 β 满足 sin（α+β）= ，求 cosβ 的值． 【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ） 或 【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得 ，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得 ， 再根据同角三角函数关系得 ，最后根据 ，利用两角差的余弦公式求结果. 详解：（Ⅰ）由角 的终边过点 得 ， 所以 . （Ⅱ）由角 的终边过点 得 ， 由 得 . 由 得 ， 所以 或 . 点睛：三角函数求值的两种类型： (1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 19. 如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1， AB=BC=B1B=2． （Ⅰ）证明：AB1⊥平面 A1B1C1； （Ⅱ）求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ） 【解析】分析:方法一：（Ⅰ）通过计算，根据勾股定理得 ,再根据线面垂直的判定定 理得结论，（Ⅱ）找出直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角，再在直角三角形中求解. 方法二：（Ⅰ）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为 0 得出 ,再根据线面垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）根据方程组解出平面 的一个法向量， 然后利用 与平面 法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解. 详解：方法一： （Ⅰ）由 得 ， 所以 . 故 . 由 ， 得 ， 由 得 ， 由 ，得 ，所以 ，故 . 因此 平面 . （Ⅱ）如图，过点 作 ，交直线 于点 ，连结 . 由 平面 得平面 平面 ， 由 得 平面 ， 所以 是 与平面 所成的角.学科.网 由 得 ， 所以 ，故 . 因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 . 方法二： （Ⅰ）如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O-xyz. 由题意知各点坐标如下： 因此 由 得 . 由 得 . 所以 平面 . （Ⅱ）设直线 与平面 所成的角为 . 由（Ⅰ）可知 设平面 的法向量 . 由 即 可取 . 所以 . 因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 . 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第 二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用 公式关”. 20. 已知等比数列{an}的公比 q>1，且 a3+a4+a5=28，a4+2 是 a3，a5 的等差中项．数列 {bn}满足 b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前 n 项和为 2n2+n． （Ⅰ）求 q 的值； （Ⅱ）求数列{bn}的通项公式． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】分析:（Ⅰ）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比，（Ⅱ）先根据数列 前 n 项和求通项，解得 ，再通过叠加法以及错位相减法求 . 详解：（Ⅰ）由 是 的等差中项得 ， 所以 ， 解得 . 由 得 ， 因为 ，所以 . （Ⅱ）设 ，数列 前 n 项和为 . 由 解得 . 由（Ⅰ）可知 ， 所以 ， 故 ， . 设 ， 所以 ， 因此 ， 又 ，所以 . 点睛：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2) 在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式；(3)在应 用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解. 21. 如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C：y2=4x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的 中点均在 C 上． （Ⅰ）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴； （Ⅱ）若 P 是半椭圆 x2+ =1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围． 【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ） 详解：（Ⅰ）设 ， ， ． 因为 ， 的中点在抛物线上，所以 ， 为方程 即 的两个不同的实数根． 所以 ． 因此， 垂直于 轴． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 所以 ， ． 因此， 的面积 ． 因为 ，所以 ． 因此， 面积的取值范围是 ． 点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再 根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式， 复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域. 22. 已知函数 f(x)= −lnx． （Ⅰ）若 f(x)在 x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2； （Ⅱ）若 a≤3−4ln2，证明：对于任意 k>0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共点． 【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）见解析 【解析】分析: （Ⅰ）先求导数，根据条件解得 x1，x2 关系，再化简 f(x1)+f(x2)为 ，利用基本 不等式求得 取值范围，最后根据函数单调性证明不等式，（Ⅱ）一方面利用零点存在定理证明函数 有零点，另一方面，利用导数证明函数 在 上单调递减，即至多一个零点. 两者综合即得结论. 详解：（Ⅰ）函数 f（x）的导函数 ， 由 得 ， 因为 ，所以 ． 由基本不等式得 ． 因为 ，所以 ． 由题意得 ． 设 ， 则 ， 所以 x （0，16） 16 （16，+∞） - 0 + 2-4ln2 所以 g（x）在[256，+∞）上单调递增， 故 ， 即 ． （Ⅱ）令 m= ，n= ，则 f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0， f（n）–kn–a< ≤ <0， 所以，存在 x0∈（m，n）使 f（x0）=kx0+a， 所以，对于任意的 a∈R 及 k∈（0，+∞），直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有公共点． 由 f（x）=kx+a 得 ． 设 h（x）= ， 则 h′（x）= ， 其中 g（x）= ． 由（Ⅰ）可知 g（x）≥g（16），又 a≤3–4ln2， 故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0， 所以 h′（x）≤0，即函数 h（x）在（0，+∞）上单调递减，因此方程 f（x）–kx–a=0 至多 1 个实根． 综上，当 a≤3–4ln2 时，对于任意 k>0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有唯一公共点． 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1) 构造差函数 .根据差函数导函数符号，确 定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为 利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.