广西南宁市第三中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析 17页

南宁三中2019-2020下学期期末考试数学试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.‎ ‎1.设，集合，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合A,再求.‎ ‎【详解】由 得： ，所以 ，因此 ，故答案为B ‎【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.‎ ‎2.已知一个几何体三视图如图所示，则此几何体的组成方式为（ ）‎ A. 上面为圆台，下面为圆柱 B. 上面为圆台，下面为棱柱 C. 上面为棱台，下面为棱柱 D. 上面为棱台，下面为圆柱 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察三视图判断上面和下面几何体的形状即可.‎ - 17 -‎ ‎【详解】结合图形分析知上面为圆台，下面为圆柱.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用三视图判断几何体的形状，考查学生的空间想象能力，是基础题．‎ ‎3.下面说法正确的是（ ）.‎ A. 经过定点的直线都可以用方程表示 B. 不经过原点的直线都可以用方程表示 C. 经过定点的直线都可以用方程表示 D. 经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点斜式、截距式、斜截式法、两点式方程特征逐一分析判断.‎ ‎【详解】经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以A错；‎ 不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程表示，所以B错；‎ 经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以C错；‎ 当时，经过点直线可以用方程即表示，‎ 当时，经过点的直线可以用方程，即表示，‎ 因此经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示，所以D对；‎ 故选：D - 17 -‎ ‎【点睛】本题考查直线几种方程的辨析，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎4.角的顶点在坐标原点，始边在x轴正半轴上，且终边过点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合任意角的三角函数值的定义运算即可得解.‎ ‎【详解】由题意可得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了任意角三角函数值的定义，考查了运算求解能力，属于基础题.‎ ‎5.在数列中，，（，），则（ ）‎ A. B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过递推式求出数列前几项可得数列为周期数列，利用数列的周期性可得答案.‎ 详解】解：，，，‎ 可得数列是以3为周期的周期数列，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查数列的周期性，关键是通过递推式求出前几项观察出周期，是基础题.‎ ‎6.，，且，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 17 -‎ ‎【分析】‎ 由已知可得，然后化简得，而，由不等式的性质给两边同除以不等号方向不变，可得结果.‎ ‎【详解】解：因为，，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为 ，所以，‎ 所以 故选：A ‎【点睛】此题考查了不等式的性质，属于基础题.‎ ‎7.已知单位向量与的夹角为，则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量投影的概念可求得向量在向量方向上的投影.‎ ‎【详解】由于单位向量与的夹角为，则向量在向量方向上的投影为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查向量投影的计算，考查平面向量投影概念的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎8.著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中 - 17 -‎ 表示这些半音的频率，它们满足.若某一半音与的频率之比为，则该半音为（ ）‎ 频率 半音 C D E F G A B C（八度）‎ A. B. G C. D. A ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据已知条件求得公比，结合题目所求半音与的频率之比，求得该半音.‎ ‎【详解】依题意可知.‎ 由于满足，则，所以数列为等比数列，设公比，对应的频率为，题目所求半音与的频率之比为，所以所求半音对应的频率为.即对应的半音为.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.‎ ‎9.已知，，，且，，则的最小值是（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 17 -‎ ‎【分析】‎ 由，化简，，得到，再用基本不等式求解.‎ ‎【详解】由知，，，‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号.‎ 故的最小值为4‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎10.在锐角三角形中，已知，则的范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理得到，计算，得到答案.‎ ‎【详解】，又，，锐角三角形，‎ ‎∴，故，故.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，三角恒等变换，三角函数范围，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎11.若函数的图象与直线有公共点，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ． C. D. ‎ ‎【答案】B - 17 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数变形为，表示的是以（1，0）为圆心，2为半径的圆的下半部分，与直线有公共点，一个临界是相切，一个临界是过点（-1，0），列式求值即可.‎ ‎【详解】函数 可化简为：，表示的是以（1，0）为圆心，2为半径的圆的下半部分，与直线有公共点，根据题意画出图像：‎ 一个临界是和圆相切，即圆心到直线的距离等于半径，正值舍去；‎ 另一个临界是过点（-1，0）代入得到m=1.‎ 故答案为B.‎ ‎【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．‎ ‎12.已知A、B是单位圆O上的两点（O为圆心），∠AOB=120°，点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径，则的取值范围是（ ）‎ A. [，0） B. [，0] C. [，1） D. [，1]‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 17 -‎ ‎【详解】建立如图所示的坐标系， ‎ ‎ ‎ 到直线的距离，‎ 则，‎ 的取值范围是，‎ 故选A.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知为等差数列的前项和，且，，则______.‎ ‎【答案】120‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列通项公式及前项和公式，可得关于首项与公差的方程组，解方程组求得首项与公差，再代入前项和公式即可求得的值.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，‎ 根据题意得 解得，，‎ - 17 -‎ 所以 ‎.‎ 故答案为：120.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列通项公式与前项和公式的简单应用，属于基础题.‎ ‎14.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，平移目标函数，其截距最大时，有最大值.‎ ‎【详解】解：作出可行域如图：‎ 由 解得，由得，‎ 平移直线，结合图像知，直线过点A时，，‎ 故答案为：4.‎ ‎【点睛】考查线性规划中求目标函数的最大值，其关键是平移目标函数，结合图像即可求解；基础题.‎ ‎15.已知，则的值为_______.‎ ‎【答案】‎ - 17 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先分子和分母上下同时除以，求得，再利用二倍角公式求解.‎ ‎【详解】时，等式不成立，‎ 当时，分子和分母上下同时除以，得，‎ 解得： ‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查二倍角的正切公式，已知的齐次方程求，重点考查公式和计算，属于基础题型.‎ ‎16.在平面直角坐标系中，圆，若圆上存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围为_________．‎ ‎【答案】(或)‎ ‎【解析】‎ 由于圆存在以为中点的弦，且，所以,如图，过点作圆的两条切线，切点分别为，圆上要存在满足题意的点，只需，即，连接，，由于， ，，解得.‎ ‎【点睛】已知圆的圆心在直线上，半径为，若圆存在以为中点的弦，且，说明，就是说圆上存在两点，使得.过点作圆的两条切线，切点分别为，圆上要存在满足题意的点，只需 - 17 -‎ ‎，即，则只需，列出不等式解出的范围.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知某曲线的方程C：．‎ 若此曲线是圆，求a的取值范围，并指出圆心和半径；‎ 若，且与直线l：相交于M，N两点，求弦长．‎ ‎【答案】（1），;（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把曲线方程配方变形，由曲线为圆可得5﹣a＞0，得a＜5，从而得到圆的圆心坐标与半径；（2）把a=1代入曲线方程，可得圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理得答案．‎ ‎【详解】解：：化为．‎ 若曲线是圆，则，得．‎ 圆心坐标为，半径；‎ 时，圆C为．‎ 圆心，半径．‎ 圆心到直线的距离．‎ 弦长．‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．‎ ‎18.在数列中，.‎ ‎（1）证明：数列是等比数列，并求通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）.‎ ‎【解析】‎ - 17 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把原数列递推式变形，可证得是等比数列，求出的通项公式后可求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）把数列{an}的通项公式代入，整理后运用分组求和法求．‎ ‎【详解】（1）证明：，或者 又，是首项为4，公比为2的等比数列，‎ ‎，；‎ ‎（2），‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了分组成等比数列或等差数列求数列的和，属中档题．‎ ‎19.如图所示，在中，点在线段上，，，，.‎ - 17 -‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判断是否为等腰三角形.‎ ‎【答案】（1）；（2）为等腰三角形.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先由的值得出的值，然后在中运用正弦定理即可；‎ ‎（2）结合（1）中的结论求出，运用余弦定理求出，进而可得结果.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以 在中，由正弦定理得：‎ ‎，即： ‎ 解得.‎ ‎（2）在中因为，所以 所以，‎ - 17 -‎ 得， ‎ 所以为等腰三角形.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查了学生的计算能力，属于基础题.‎ ‎20.在中，角，，所对的边分别是，若，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）4；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用二倍角公式化简，再用诱导公式化简，然后利用正弦定理把角统一成边，再结合可求出的值；‎ ‎（2）由余弦定理得，从而可得，再利用三角形面积公式，结合基本不等式可求出面积的最大值.‎ ‎【详解】（1）因为 ，‎ 所以，，‎ 由正弦定理可得 ，‎ 因为，所以，‎ ‎（2）由余弦定理可得，‎ 即，‎ 所以，所以，‎ 因为，‎ - 17 -‎ 所以，‎ 因为，所以，当且仅当时取等号， ‎ 所以，‎ 所以面积的最大值为.‎ ‎【点睛】此题考查三角函数的二倍角公式、诱导公式，考查了正余弦定理，利用了基本不等式求三角形面积的最大值，考查了计算能力，属于中档题.‎ ‎21.设不过坐标原点直线与二次函数相交于两点，若以为直径的圆过坐标原点.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当以为直径的圆的面积最小时，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）2；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由以为直径的圆过坐标原点，可得，若设，则，直线方程与抛物线方程联立成方程组，消元后，再利用根与系数的关系，结合直线方程，解方程可求出的值，‎ ‎（2）的中点坐标为，则圆的半径，所以当时取得最小值2，由此可得直线方程.‎ ‎【详解】解：联立消去得.设，‎ 由韦达定理得，‎ 因为以为直径的圆过坐标原点，‎ 所以，得，‎ 由于两点在直线上，‎ - 17 -‎ 所以 所以或 当时，直线过坐标原点，不符合条件，‎ 故；‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 则的中点坐标为，‎ 所以圆的半径 ，‎ 当且仅当时，取得最小值2，‎ 此时，直线的方程为.‎ ‎【点睛】此题考查了直线与抛物线的位置关系，圆的有关知识，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.‎ ‎22.对定义域的函数，，规定：‎ ‎ 函数 ‎ （1）若函数，，写出函数的解析式；‎ ‎ （2）求问题（1）中函数的值域；‎ ‎ （3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函 ‎ 数，及一个的值，使得，并予以证明.‎ ‎【答案】（1）；（2）；‎ ‎（3），当时，，此时.‎ ‎【解析】‎ - 17 -‎ 试题分析：（１）依题意得，分讨论，利用函数性质可求得函数的解析式；（２）当时，易求；当时，，再对分和讨论，利用基本不等式即可求得函数的值域；（３）构造函数，可求得，继而可证得．‎ 试题解析：（1）.‎ ‎（2）当时,, 若时, 则,其中等号当时成立,‎ 若时, 则,其中等号当时成立,函数的值域是.‎ ‎（3） 令,则 ‎,‎ 于是,‎ 另解令,‎ 于是.‎ 考点：抽象函数及其应用．‎ - 17 -‎