2018-2019学年广西南宁市第三中学、柳州市高级中学高二下学期联考（第三次月考）数学（理）试题（解析版） 22页

‎2018-2019学年广西南宁市第三中学、柳州市高级中学高二下学期联考（第三次月考）数学（理）试题 一、单选题 ‎1．若复数满足 (是虚数单位),则的共轭复数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以 ，‎ 因此的共轭复数是，选A.‎ ‎2．设集合，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用一元二次不等式的解法化简集合，再化简集合，由交集的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ 中不等式变形得， 解得，所以，‎ 由中不等式解得，所以， 则，故选A .‎ ‎【点睛】‎ 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.‎ ‎3．下图给出的是2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是（ ）‎ A．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增大 B．2000年以来我国实际利用外资规模与年份呈负相关 C．2010年我国实际利用外资同比增速最大 D．2008年我国实际利用外资同比增速最大 ‎【答案】D ‎【解析】根据柱状图和折线图依次判断各个选项即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由图表可知：‎ 年我国实际利用外资规模较年下降，可知错误；‎ 年以来，我国实际利用外资规模总体呈现上升趋势，可知错误；‎ 年我国实际利用外资同比增速最大，高于年，可知错误，正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据统计图表判断命题的问题，属于基础题.‎ ‎4．若实数满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A．3 B．6 C．10 D．12‎ ‎【答案】C ‎【解析】由约束条件得到可行域，可知当在轴截距最小时，最大；通过图象平移可知当过时，最大，代入求得最大值.‎ ‎【详解】‎ 由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：‎ 则当在轴截距最小时，最大 由平移可知，当过时，最大 由得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划求解最值的问题，关键是通过直线的平移，根据在轴的截距来确定取得最大值时的点.‎ ‎5．已知，则（ ）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将已知等式弦化切，求得， 分母用代替，弦化切后，将代入即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．‎ ‎6．已知，，，则，，的大小关系是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】结合0,1进行a,b,c的大小比较，即可。‎ ‎【详解】‎ ‎,,故,故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了对数、指数比较大小，关键可以结合0,1进行大小比较，难度中等。‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A．7 B．14 C．30 D．41‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知中的程序语句可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序运行的过程，分析循环中各变量的变化情况，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，模拟程序的运行，可得，‎ 不满足条件，执行循环体，，满足条件能被整除，；‎ 不满足条件，执行循环体，，满足条件能被整除，；‎ 不满足条件，执行循环体，，满足条件能被整除，；‎ 不满足条件，执行循环体，，满足条件能被整除，；‎ 此时，满足，推出循环，输出S的值为30，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎8．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A．32 B．16 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据三视图可知几何体为一个三棱柱切掉一个三棱锥，分别求解出三棱柱和三棱锥的体积，作差即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，几何体为一个三棱柱切掉一个三棱锥 如下图所示：‎ 则为中点 ‎，‎ 所求几何体体积：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查多面体体积的求解问题，关键是能够通过割补的方式来进行求解.‎ ‎9．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象．若函数为奇函数，则函数在区间上的值域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据对称轴之间距离可求得最小正周期，得到；利用平移变换得到，根据为奇函数可求得，从而可得到解析式；根据的范围求得的范围，从而可求得函数的值域.‎ ‎【详解】‎ 由相邻两条对称轴之间的距离为，可知最小正周期为 即： ‎ 向左平移个单位长度得：‎ 为奇函数 ，‎ 即：，‎ 又 ‎ 当时，‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦型函数的值域问题的求解，关键是能够根据函数的性质和图象平移变换的原则得到函数的解析式，进而可通过整体对应的方式，结合余弦函数的解析式求解出函数的值域.‎ ‎10．在三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】取中点，连接，三角形的中心在上，过点作平面 垂线.在垂线上取一点，使得， 点即为球心，通过三棱锥的性质以及三棱锥的接球的相关性质列方程，求出球的半径，从而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，取中点，连接，三角形的中心在上， ‎ 过点作平面垂线.在垂线上取一点，使得，‎ 因为三棱锥底面是一个边长为的等边三角形，为三角形的中心，‎ ‎ 点即为球心，‎ 因为为中点，所以，‎ 因为平面平面 平面，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 设球的半径为,则有，‎ 作于，则为矩形，‎ ‎，即,解得，‎ 故表面积为，故选B .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三棱锥的相关性质,主要考查三棱锥的外接球的相关性质，考査如何通过三棱锥的几何持征来确定三棱锥的外接球与半径，是难题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为 外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出（或设出）球心和半径.‎ ‎11．双曲线的左、右焦点分别为，，过作线段与交于点，且与交于点，且为的中点.若等腰的底边的长等于的半焦距，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先判断，且，由双曲线定义知 ，在中，利用勾股定理列出关于的等式，进而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 连结，因为等腰的底边的长等于的半焦距，‎ 所以，又因为为的中点，‎ 所以可得，且，‎ 由双曲线定义知 ，‎ 在中，，‎ 解得的离心率,故选 C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出 ‎;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．‎ ‎12．已知函数满足，若函数与的图象交点为，则 （ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先判断函数与的图象都关于对称，得到其交点也关于对称，可得，，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 可得的图象关于对称，‎ 又因为，‎ 所以的图象可由函数的图象，‎ 向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，‎ 所以的图象也关于对称，‎ 函数与的图象交点为关于对称，‎ 所以，‎ ‎，‎ 设，‎ 则，‎ 两式相加可得，‎ 所以，‎ 设，同理可得，‎ 所以，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的对称性的应用以及倒序相加法求和，属于难题. （1）若，则的图象关于对称；（2）若，则的图象关于对称.‎ 二、填空题 ‎13．已知两个单位向量，满足，则与的夹角为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过平方运算将模长变为数量积运算的形式，可构造出关于夹角余弦值的方程，从而求得夹角.‎ ‎【详解】‎ 由题意知： ‎ ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量夹角的求解问题，关键是通过平方运算得到向量的数量积运算的形式.‎ ‎14．二项式的展开式中，第三项系数为2，则_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求出二项式的展开式的通项公式,利用第三项系数为2，求出的值，即再由微积分基本定理可得结果.‎ ‎【详解】‎ 展开式的通项为，‎ 第三项系数为，‎ 因为，所以，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，以及微积分基本定理的应用，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ ‎15．将三位老师分配到4所学校实施精准帮扶，若每位老师只去一所学校，每所学校最多去2人，则不同的分配方法有_____________ 种（用数字作答）.‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】分2种情况讨论:三位老师去三所学校；两位老师一所学校，另一位老师去一所学校，分别求出每一种情况的分配方法数目，由加法原理计算可得结果.‎ ‎【详解】‎ 根据题意,分2种情况讨论：‎ 若三位老师去三所学校，则有种分配方法；‎ 若两位老师一所学校，另一位老师去一所学校，‎ 则有种分配方法，‎ 所以共有种不同的分配方法，故答案为60 .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.‎ ‎16．已知函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】变形，令，‎ 的零点个数等价于直线与函数且的图象的交点个数，利用导数研究函数且的单调性，画出函数图象，利用数形结合可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由，得，令，‎ 则，当时，不是函数的零点：‎ 当时，令,分离参数，‎ 的零点个数等价于直线与函数且的图象的交点个数，‎ ‎，‎ 时，，在上递减；‎ 时，，在上递增；‎ 极小值，‎ 画出的图象如图所示：‎ 因为直线与函数且的图象的交点个数为1,‎ 由图可知，实数的取值范围是，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的零点以及利用导数研究函数的单调性，属于难题. 函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.‎ 三、解答题 ‎17．已知等比数列的各项为正数，且，数列的前项和为 ，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）利用和可求出公比，利用等比数列通项公式求得结果；（2）利用求出，从而求得；利用分组求和法求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) ，又 ‎ 或 各项均为正数 ‎ ‎(2)由得，当时：‎ 当时，也合适上式 ‎ 由得：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列通项公式求解、分组求和法求数列前项和，涉及到利用求解通项公式、等差数列和等比数列求和公式的应用.‎ ‎18．在中，分别是角的对边，，且 ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的取值范围 ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）根据向量垂直得到数量积为零，可得；利用正弦定理进行边角关系式化简，结合两角和差正弦公式可求得，进而得到；（2）利用余弦定理可整理得，根据基本不等式可求得，根据三角形两边和大于第三边可得，从而得到所求范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得：‎ 由正弦定理得：‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）由余弦定理得：‎ 整理可得：‎ 又，当且仅当时取等号 ‎ ‎ 又 ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的问题.求解两边和的范围的关键是能够通过余弦定理构造关于两边积的形式，利用基本不等式求出积的最大值，从而可得两边和的最大值.‎ ‎19．如图，在三棱椎中，侧棱底面，，，分别是线段，的中点，过线段的中点作的平行线，分别交于点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明略；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）要证线面垂直，就要证线线垂直，即要证与平面内两条相交直线垂直，首先由三棱柱侧棱与底面垂直可得，由等腰三角形性质知，从而有，因此即证线面垂直；（2）要求二面角，关键是作出二面角的平面角，一般要找到二面角的一个面的垂线，则平面角易作，因此我们连接，作于，由（1）可证平面，根据三垂线定理可得所求二面角的平面角，并在相应直角三角形中可求得此角大小.‎ 试题解析：(1)因为AB＝AC，D是BC的中点，‎ 所以BC⊥AD.‎ 由题可知MN∥BC，‎ 所以MN⊥AD.‎ 因为AA1⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，‎ 所以AA1⊥MN.‎ 又AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交于点A，‎ 所以MN⊥平面ADD1A1.‎ ‎(2)解　如图，连结A1P，过点A作AE⊥A1P于点E，过点E作EF⊥A1M于点F，连结AF.‎ 由(1)知，MN⊥平面AEA1，‎ 所以平面AEA1⊥平面A1MN.‎ 因为平面AEA1∩平面A1MN＝A1P，AE⊥A1P，AE⊂平面AEA1，‎ 所以AE⊥平面A1MN，则A1M⊥AE，又AE∩EF＝E，‎ 所以A1M⊥平面AEF，则A1M⊥AF，‎ 故∠AFE为二面角A－A1M－N的平面角(设为θ)．‎ 设AA1＝1，则由AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，‎ D为BC的中点，有∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝1.‎ 又P为AD的中点，M为AB的中点，‎ 所以AP＝，AM＝1.‎ 在Rt△AA1P中，A1P＝，‎ 在Rt△A1AM中，A1M＝，‎ 从而AE＝，‎ AF＝，‎ 所以sinθ＝.‎ 因为∠AFE为锐角，‎ 所以.‎ 故二面角A－A1M－N的余弦值为.‎ ‎20．近年，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，某省采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查.‎ ‎（1）已知抽取的名学生中含男生55人，求的值；‎ ‎（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的列联表. 请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；‎ ‎（3）在抽取到的女生中按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中抽取4人，设这4人中选择“地理”的人数为，求的分布列及期望.‎ 附：，‎ ‎【答案】(1) ；(2) 有把握；(3) .‎ ‎【解析】(1)根据分层抽样的定义列方程求得的值；(2)根据所给数据填写列联表,利用公式计算，对照临界值表得出结论；(3)根据题意知可为0，1，2，3，4，利用组合知识，结合古典概型概率公式计算对应的概率值，写出分布列，利用期望公式可计算数学期望值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得，解得． ‎ ‎（2）列联表为：‎ 选择“物理”‎ 选择“地理”‎ 总计 男生 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 女生 ‎25‎ ‎20‎ ‎45‎ 总计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎，故有99%的把握认为选择科目与性别有关 ‎（3）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9名女生中有5人选择物理，4人选择地理，9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择地理的人数可为0，1，2，3，4. ‎ 设事件发生概率为，则，，‎ ‎，， . ‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 期望.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分层抽样、独立独立性检验的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.‎ ‎21．如图：椭圆的顶点为,左右焦点分别为，，‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过右焦点的直线与椭圆相交于两点，试探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由？‎ ‎【答案】（1）；（2）在轴上存在定点，使得为定值 ‎【解析】（1）根据，和可构造出关于的方程组，求解可得标准方程；（2）当直线斜率不为时，设，，，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，列出，代入韦达定理的结果可整理出，根据可求得和的值；当直线斜率为时，可知所求的依然满足是上面所求的值，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由知：……①‎ 由知：，即……②‎ 又……③‎ 由①②③得：，‎ 所求方程为：‎ ‎（2）①当直线的斜率不为时 设，，，直线的方程为 由得： ‎ 由，得：，故此时点，‎ ‎②当直线的斜率为时，‎ 综上所述：在轴上存在定点，使得为定值 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定点定值问题.解决定点定值问题的关键是建立起关于变量的等量关系式，通过化简、消元消去变量，从而得到定值；通常采用先求一般再求特殊的方式，对于直线斜率为零或不存在的情况，通常最后验证一般情况下得到的结论适合特殊情况即可.‎ ‎22．已知，函数， ‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若是的极值点且曲线在两点，处的切线互相平行，这两条切线在轴上的截距分别为，，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析（2）.‎ ‎【解析】(1) 求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）由，得，可得，利用导数求得切线方程，结合切线斜率相等可得（），利用导数研究函数的单调性，利用单调性可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) ‎ ‎①当时，，在上递减 ‎②当，若，则在上递增 若，则在上递减 若，在上递减，上递增 ‎（2）由，得，∴‎ 在点处的切线： 令，得 同理得 由两切线相互平行得 由 由得 则 ‎（）‎ 令 在上递增 而，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用单调性求范围以及导数的几何意义，考查了分类讨论思想的应用，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.‎