2019-2020学年广西南宁市第三中学高二上学期期中考试（11月段考）数学（文）试题（解析版） 17页

‎2019-2020学年广西南宁市第三中学高二上学期期中考试（11月段考）数学（文）试题 一、单选题 ‎1．“若，则没有实根”，其否命题是（ ）‎ A．若，则没有实根 B．若，则有实根 C．若，则没有实根 D．若，则有实根 ‎【答案】D ‎【解析】否命题需要否定条件和结论，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 若，则没有实根”‎ 其否命题是：若，则有实根 故答案选D ‎【点睛】‎ 本题考查了命题的否定，命题需要否定条件和结论.‎ ‎2．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是(　　)‎ A．对立事件 B．互斥但不对立事件 C．不可能事件 D．必然事件 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生，是互斥事件，但除了事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”还有“丙分得红牌”，所以这两者不是对立事件，答案为B.‎ ‎【考点】互斥与对立事件.‎ ‎3．命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据特称命题的否定可得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 由特称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查特称命题的否定，着重考查对特称命题概念的理解，属于基础题.‎ ‎4．已知两点和到直线的距离相等，则m的值为（ ）‎ A．0或 B．或 C．或 D．0或 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：∵两点和到直线距离相等，∴，解得，或．故选B．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎5．甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计图用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用、表示，则下列结论正确的是(　　)‎ A．，且甲比乙成绩稳定 B．，且乙比甲成绩稳定 C．，且甲比乙成绩稳定 D．，且乙比甲成绩稳定 ‎【答案】A ‎【解析】利用茎叶图求出甲、乙两位同学的平均成绩和方差，分别比较这两个数的大小，可得出结论。‎ ‎【详解】‎ 由茎叶图可知，甲同学成绩的平均数为，‎ 方差为，‎ 乙同学成绩的平均数为，‎ 方差为，则，，‎ 因此，，且甲比成绩稳乙定，故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查茎叶图，考查平均数和方差的计算，在求解有关茎叶图中数据的计算时，先将数据由小到大或由大到小排列，结合相关公式进行计算， 考查计算能力，属于中等题。‎ ‎6．下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由，但无法得出，A满足；由、均无法得出，不满足“充分”；由，不满足“不必要”.‎ ‎【考点】不等式性质、充分必要性.‎ ‎7．已知正四棱柱中，，E为中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于,故选C.‎ 取DD1中点F，则为所求角, ，选C.‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 模拟程序的运行，可得，‎ 当时，，，满足条件，执行循环体；‎ 当时，，，满足条件，执行循环体；‎ 当时，，，不满足条件，退出循环体，输出，所以，解得．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题.‎ ‎9．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】阳数：，阴数：，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率.‎ ‎【详解】‎ 因为阳数：，阴数：，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：个，满足差的绝对值为5的有：共个，则.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：.‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知中的三视图画出几何体的直观图，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题中三视图可得直观图为三棱锥，如图所示：‎ 可知，，，，‎ 则，，所以．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是棱锥的体积，空间几何体的三视图，难度不大，属于基础题.‎ ‎11．与圆外切，且与y轴相切的动圆圆心P的轨迹方程为（ ）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先设，根据题意建立等量关系，化简整理，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 因为动圆P与圆外切，且与y轴相切，‎ 则，移项平方得.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查求点的轨迹方程，只需设动点坐标，结合题意建立等量关系，即可求解，属于常考题型.‎ ‎12．设函数，则“”是“与”都恰有两个零点的（ ）．‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以开口向上，有两个零点，最小值必然小于，当取得最小值时，，即，令，则，必有两个零点，同理，由于是对称轴，开口向上，，必有两个零点，所以“”是“与”都恰有两个零点的充要条件，故选C.‎ ‎【方法点睛】本题通过充分条件与必要条件考查二次函数的图象与性质，属于难题题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.本题中，不但要理解充分条件与必要条件的基本含义，更要熟练掌握二次函数的图象与性质，以及二次函数与一元二次方程的关系.‎ 二、填空题 ‎13．某地甲乙丙三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为200、300、400。现为了调查联考数学学科的成绩，采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取一个样本，已知甲学校中抽取了40名学生的数学成绩，那么在丙学校中抽取的数学成绩人数为_________。‎ ‎【答案】80‎ ‎【解析】由题意，求得甲乙丙三所学校抽样比为，再根据甲学校中抽取了40名学生的数学成绩，即可求解丙学校应抽取的人数，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，甲乙丙三所学校参加联考的人数分别为200、300、400，‎ 所以甲乙丙三所学校抽样比为，‎ 又由甲学校中抽取了40名学生的数学成绩，所以在丙学校应抽取人.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分层抽样概念及其应用，其中解答中熟记分层抽样的概念，以及计算的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎14．不论取什么实数，直线都经过一个定点，则这个定点为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】把直线等价转化为，由已知条件推导出，由此即可求出定点坐标.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 不论取什么实数，直线都经过一个定点，‎ ‎，解得，，‎ 这个定点为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线经过的定点坐标的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用，属于基础题.‎ ‎15．在区间上随机地取出两个数，，满足的概率为，则实数______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出点对应的区域是边长为的正方形区域面积，计算满足所表示的平面区域面积，利用几何概型的概率公式计算即可.‎ ‎【详解】‎ 在区间上随机地取出两个数，，‎ 则对应的区域是边长为2的正方形区域，其面积为；‎ 在正方形区域内，作出所表示的图象如下：‎ 则阴影部分所表示区域为所表示区域；‎ 由得，‎ 因此阴影部分面积为，‎ 因为在区间上随机地取出两个数，，满足的概率为，‎ 所以，‎ 解得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型的概率计算问题，属于基础题．‎ ‎16．在北纬45°圈上有甲.乙两地，它们的经度差90°，则甲乙两地的球面距离与地球半径的比值为________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意求出AB两点间的距离，可得，即球心角为，由弧长公式可得甲乙两地的球面距离为，即可得结果。‎ ‎【详解】‎ 设在北纬45°的纬线圈的圆心为C，球心为O，连接OA、OB、OC、AC、BC，则平面，在中，，同理。‎ 因为A、B两地经度差为，所以，在中，，由此可得是边长为R的等边三角形，即，所以A、B两地的球面距离为，所以甲乙两地的球面距离与地球半径的比值为。‎ ‎【点睛】‎ 本题由实际问题入手，考查球面距离问题，关键是求球心O与A、B两点连线的夹角 的大小，可利用纬线长，纬度，两点所在的经度计算AB的长度，再根据几何性质进行求解，得到的大小，结合弧长公式，即可求解，属中档题。‎ 三、解答题 ‎17．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：‎ 日期 ‎12月2日 ‎12月3日 ‎12月4日 温差（）‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ 发芽数（颗）‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎（1）请根据12月2日至12月4日的数据，求出关于的线性回归方程；‎ ‎（2）该农科所确定的研究方案是：先用上面的3组数据求线性回归方程，再选取2组数据进行检验．若12月5日温差为，发芽数16颗，12月6日温差为，发芽数23颗．由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？‎ 注：，．‎ ‎【答案】（1）； （2）研究所得到的线性回归方程是可靠的.‎ ‎【解析】（1）由数据求得，，求出回归系数，写出关于的线性回归方程；‎ ‎（2）利用回归方程计算和时对应的函数值，验证所得的线性回归方程是否可靠.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由数据求得，‎ ‎，且，‎ 又，‎ ‎，计算，‎ 由公式得，，‎ 所以关于的线性回归方程是．‎ ‎（2）当时，，，‎ 同样地，当时，，，‎ 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎18．如图，在三角形中，，的角平分线交于，设，且．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）若，求的长．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）先根据已知条件求出的余弦值，再根据二倍角公式求出，再根据三角形三内角之间的关系以及两角和的正弦公式即可求出的值；‎ ‎（2）先根据第一问的结论以及正弦定理求出两边之间的关系，代入已知求出边长，再结合正弦定理即可求的长.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，且为三角形内角的一半，所以为锐角；‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以 ‎（2）由正弦定理得，即，所以，①‎ 又，所以，②‎ 由①②得，又由，得，‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理，余弦定理以及同角三角函数的基本关系式，两角和正弦公式的应用，是对知识的综合考查，属于基础题.‎ ‎19．在一次抽奖活动中，有，，，，，共6人获得抽奖机会，抽奖规则如下：若获一等奖后不再参加抽奖，获得二等奖的仍参加三等奖抽奖．现在主办方先从6人中随机抽取2人均获一等奖，再从余下的4人中随机抽取1人获二等奖，最后还从这4人中随机抽取1人获三等奖．‎ ‎（1）求能获一等奖的概率；‎ ‎（2）若，已获一等奖，求能获奖的概率．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；‎ ‎（2）利用列举法找出基本事件数，再计算所求的概率值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设“能获一等奖”为事件，事件等价于事件“从6人中随机抽取两人，能抽到”，从6人中随机抽取两人的基本事件有：‎ ‎，，，，，，，，，‎ ‎，，，，，，共15个，‎ 其中含有的有，，，，共5个，‎ 所以，即能获一等奖的概率为．‎ ‎（2）设“若，已获一等奖，能获奖”为事件，，已获一等奖，‎ 余下的4人中，获奖的基本事件有：‎ ‎，，，，，，，，‎ ‎，，，，，，，共16个；‎ 其中含有的有，，，，，，共7种，‎ 所以，即若，已获一等奖，能获奖的概率为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了古典概型的概率计算问题，属于基础题．‎ ‎20．如图，已知三棱锥中，，，为的中点，为的中点，且为正三角形.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）若，，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）.‎ ‎【解析】(1)先证，可证平面.‎ ‎(2)先证，得，结合可证得平面.‎ ‎(3)等积转换，由，可求得体积.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明：因为为的中点，为的中点，‎ 所以是的中位线，.‎ 又，，‎ 所以.‎ ‎(2)证明：因为为正三角形，为的中点，所以.‎ 又，所以.‎ 又因为，，所以.‎ 因为，所以.‎ 又因为，，‎ 所以.‎ ‎(3)因为，，‎ 所以，即是三棱锥的高.‎ 因为，为的中点，为正三角形，‎ 所以.‎ 由，可得，‎ 在直角三角形中，由，可得.‎ 于是.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间线面平行与垂直的证明，体积的计算.空间中的平行与垂直的证明过程就是利用相关定义、判定定理和性质定理实现线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转换.求三棱锥的体积常采用等积转换的方法，选择易求的底面积和高来求体积.‎ ‎21．已知数列为等差数列，且满足，，数列的前项和为，且，.‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）数列的通项公式，利用，可求公差，然后可求；的通项公式可以利用退位相减法求解；‎ ‎（Ⅱ）求出代入，利用分离参数法可求实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）∵，∴，‎ ‎∴，即，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴，‎ 又，也成立，∴是以1为首项，3为公比的等比数列，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎∴对恒成立，‎ 即对恒成立，‎ 令，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ ‎∴，故，‎ 即的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列通项公式的求解和参数范围的确定，熟练掌握公式是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎22．圆与轴交于、两点（点在点的左侧），、是分别过、点的圆的切线，过此圆上的另一个点（点是圆上任一不与、重合的动点）作此圆的切线，分别交、于、两点，且、两直线交于点．‎ ‎（）设切点坐标为，求证：切线的方程为．‎ ‎（）设点坐标为，试写出与的关系表达式（写出详细推理与计算过程）．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据点斜式写出切线的方程,再利用,化简可得．（2）先求出C,D坐标,再根据两点式写出AD,BC方程,联立方程组解得点M坐标,最后根据,得与的关系表达式 ‎（）∵圆心切点，‎ 圆心与切点所成直线斜率，‎ ‎∴切线斜率，‎ 又∵切线过，‎ ‎∴切线方程为，‎ 整理得，‎ 即切线方程为．‎ ‎（）∵过点的切线为，‎ 当时，，当时，，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ 联立与，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 所以，‎ 又∵，‎ ‎∴．‎ 点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：‎ ‎①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．‎ ‎②定义法：根据圆、直线等定义列方程．‎ ‎③几何法：利用圆的几何性质列方程．‎ ‎④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．‎