高考卷 06 普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷 21页

2006 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（文史类） 数学试题（文史类）共 5 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮檫擦干净后，在选涂其他答案标号。 3．答非选择题时，必须用 0.5mm 黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 参考公式： 如果事件 A B、 互斥，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B   如果事件 A B、 相互独立，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B  如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率： ( ) (1 )k k n k n nP k C p p   一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个备选项中，只 有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合 {1,2,3,4,5,6,7}U  ， {2,4,5,7}A  ， {3,4,5}B  ，则 ( ) ( )A B U U （A）{1,6} （B）{4,5} （C）{2,3,4,5,7} （D）{1,2,3,6,7} （2）在等差数列 na 中，若 0na  且 3 7 64a a  ， 5a 的值为 （A）2 （B）4 （C）6 （D）8 （3）以点（2，－1）为圆心且与直线 3 4 5 0x y   相切的圆的方程为 （A） 2 2( 2) ( 1) 3x y    （B） 2 2( 2) ( 1) 3x y    （C） 2 2( 2) ( 1) 9x y    （D） 2 2( 2) ( 1) 3x y    （4）若 P 是平面 外一点，则下列命题正确的是 （A）过 P 只能作一条直线与平面 相交 （B）过 P 可作无数条直线与平面 垂直 （C）过 P 只能作一条直线与平面 平行 （D）过 P 可作无数条直线与平面 平行 （5）  52 3x  的展开式中 2x 的系数为 （A）－2160 （B）－1080 （C）1080 （D）2160 （6）设函数 ( )y f x 的反函数为 1( )y f x ，且 (2 1)y f x  的图像过点 1( ,1)2 ，则 1( )y f x 的图像必过 （A） 1( ,1)2 （B） 1(1, )2 （C） (1,0) （D） (0,1) （7）某地区有 300 家商店，其中大型商店有 30 家，中型商店有 75 家，小型商店有 195 家。 为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为 20 的样本。若采用分层抽样的方法， 抽取的中型商店数是 （A）2 （B）3 （C）5 （D）13 （8）已知三点 (2,3), ( 1, 1), (6, )A B C k  ，其中 k 为常数。若 AB AC  ，则 AB  与 AC  的 夹角为 （A） 24arccos( )25  （B） 2  或 24arccos 25 （C） 24arccos 25 （D） 2  或 24arccos 25   （9）高三（一）班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目，2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演 出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 （A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040 （10）若 , (0, )2    ， 3cos( )2 2    , 1sin( )2 2     ，则 cos( )  的值等于 （A） 3 2  （B） 1 2  （C） 1 2 （D） 3 2 （11）设 1 1 2 2 9( , ), (4, ), ( , )5A x y B C x y 是右焦点为 F 的椭圆 2 2 125 9 x y  上三个不同的点， 则“ , ,AF BF CF 成等差数列”是“ 1 2 8x x  ”的 （A）充要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分不必要条件 （D）既非充分也非必要 （12）若 , , 0a b c  且 2 2 2 4 12a ab ac bc    ，则 a b c  的最小值是 （A） 2 3 （B）3 （C）2 （D） 3 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 24 分。把答案填写在答题卡相应位置上。 （13）已知 2 5sin 5   ， 2     ，则 tan  。 （14）在数列{ }na 中，若 1 1a  ， 1 2( 1)n na a n    ，则该数列的通项 na  。 （15）设 0, 1a a  ，函数 2( ) log ( 2 3)af x x x   有最小值，则不等式 log ( 1) 0a x   的 解集为 。 （16）已知变量 x ， y 满足约束条件 2 3 0 3 3 0 1 0 x y x y y           。若目标函数 z ax y  （其中 0a  ） 仅在点 (3,0) 处取得最大值，则 a 的取值范围为 。 三．解答题：本大题共 6 小题，共 76 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分 13 分） 甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给 甲、乙、丙的概率依次为 1 6 、 1 3 、 1 2 。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独 立。求： （Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率； （Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率； （18）（本小题满分 13 分） 设函数 2( ) 3 cos sin cosf x x x x a     （其中 0,a R   ）。且 ( )f x 的图像在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是 6  。 （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）如果 ( )f x 在区间 5[ , ]3 6   上的最小值为 3 ，求 a 的值； （19）（本小题满分 12 分） 设函数 3 2( ) 3 3f x x ax bx   的图像与直线12 1 0x y   相切于点 (1, 11) 。 （Ⅰ）求 ,a b 的值； （Ⅱ）讨论函数 ( )f x 的单调性。 （20）（本小题满分 12 分） 如 图 ， 在 增 四 棱 柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中 ， 11, 3 1AB BB   ， E 为 1BB 上使 1 1B E  的点。 平面 1AEC 交 1DD 于 F ，交 1 1A D 的延长线于G ，求： （Ⅰ）异面直线 AD 与 1C G 所成角的大小； （Ⅱ）二面角 1 1A C G A  的正切值； （21）（本小题满分 12 分） 已知定义域为 R 的函数 1 2( ) 2 x x bf x a    是奇函数。 （Ⅰ）求 ,a b 的值； （Ⅱ）若对任意的t R ，不等式 2 2( 2 ) (2 ) 0f t t f t k    恒成立，求 k 的取值范围； （22）（本小题满分 12 分） 如图，对每个正整数 n ， ( , )n n nA x y 是抛物线 2 4x y 上的点，过焦点 F 的直线 nFA 角抛物 线于另一点 ( , )n n nB s t 。 （Ⅰ）试证： 4( 1)n nx s n   ； （Ⅱ）取 2n nx  ，并记 nC 为抛物线上分别以 nA 与 nB 为切点的两条切线的交点。试证： 1 1 2 2 2 1n n nFC FC FC        ； 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 （重庆卷）数学（文史类） 参考答案 （1）—（12）DDCDB CCDBB AA (13) -2 (14) 2n – 1 (15) 12 16 2a  （ ， ） （ ） 三．解答题：本大题共 6 小题，共 76 分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分 13 分）甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机， 设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为 1 6 、 1 3 、 1 2 。若在一段时 间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求： （Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率； （Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率； 解：（Ⅰ）由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式， 所求概率为： 3 3 31 1 1 1( ) ( ) ( ) .6 3 2 6p     （Ⅱ）这是 n=3，p= 1 6 的独立重复试验，故所求概率为： 2 2 3 3 1 5 5(2) ( ) ( ) .6 6 72P C  （18）（本小题满分 13 分）设函数 2( ) 3 cos sin cosf x x x x a     （其中 0,a R   ）。且 ( )f x 的图像在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是 6  。 （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）如果 ( )f x 在区间 5[ , ]3 6   上的最小值为 3 ，求 a 的值； 解：（I） 3 1 3 3( ) cos2 sin 2 sin(2 )2 2 2 3 2f x x x x a           依题意得 12 6 3 2 2         ． （II）由（I）知， 3( ) sin( )3 2f x x      ．又当 5[ , ]3 6x    时， 7[0, ]3 6x    ，故 1 sin( ) 12 3x     ，从而 ( )f x 在区间 π 5π 3 6     ， 上的最小值为 1 33 2 2 a    ，故 3 1.2a  （19）（本小题满分 12 分） 设函数 3 2( ) 3 3f x x ax bx   的图像与直线12 1 0x y   相切于点 (1, 11) 。 （Ⅰ）求 ,a b 的值； （Ⅱ）讨论函数 ( )f x 的单调性。 解：（Ⅰ）求导得 ' 2( ) 3 6 3f x x ax b   。 由于 ( )f x 的图像与直线12 1 0x y   相切于点 (1, 11) ， 所以 '(1) 11, (1) 12f f    ，即： 1-3a+3b = -11 解得: 1, 3a b   ． 3-6a+3b=-12 （Ⅱ）由 1, 3a b   得： ' 2 2( ) 3 6 3 3( 2 3) 3( 1)( 3)f x x ax b x x x x         令 f′（x）＞0，解得 x＜-1 或 x＞3；又令 f′（x）< 0，解得 -1＜x＜3. 故当 x（  , -1）时，f(x)是增函数，当 x（3,  ）时，f(x)也是增函数， 但当 x（-1 ，3）时，f(x)是减函数. （20）（本小题满分 12 分） 如图，在正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 11, 3 1AB BB   ， E 为 1BB 上使 1 1B E  的点。 平面 1AEC 交 1DD 于 F ，交 1 1A D 的延长线于G ，求： （Ⅰ）异面直线 AD 与 1C G 所成角的大小； （Ⅱ）二面角 1 1A C G A  的正切值； 解法一：（Ⅰ）由 1 1 1//AD D G C GD知 为异面直线 AD 与 1C G 所成角．（如图 1） 连接 1C F ．因为ＡＥ和 1C F 分别是平行平面 1 1 1 1ABB A CC D D 1和 与平面AEC G的交线 ， 所以 AE// 1C F ,由此得 1 1 13. 3.D F BF FD G FDA D G     再由 1 1 6Rt C D G   1 1 1 1在 中,由C D =1得 C GD （Ⅱ）作 1 1D H C G 于 H,由三垂线定理知 1 1,FH C G D HF  1 1故 为二面角F-C G-D 即二面角 1 1A C G A  的平面角. 1 1 3, 6 2Rt HD G H D H   1 1在 中,由D G= 3 GD 得 . 从而 1 1 1 3tan 2 3 2 D FD HF D H    . 解法二：（Ⅰ）由 1 1 1//AD D G C GD知 为异面直线 AD 与 1C G 所成角．（如图 2） 因为 1EC 和 AF 是平行平面 1 1BB C D1 1 1C与平面AA D与平面AEC G的交线 ， 所以 1 //EC AF ,由此得 1 1 1 1 1 1, 3 1 3.4AGA EC B AG AA D G          1 1 6Rt C D G   1 1 1 1在 中,由C D =1得 C GD （Ⅱ） 1 1 1 14 6AC G AC G    1 1 1 1在 中,由 C A G= , A GC = 知 为钝角。 作 1 1 1A H GC GC 交 的延长线于 H,连接 AH，由三垂线定理知 1,GH AH A HA  1 1故 为二面角A-C G-A 的平面角. 1 1 3 11, 6 2Rt A HG H H     1 1在 中,由A G= 3 GA 得A . 从而 1 1 1 3 1tan 2 3 1 2 A AA HA A H     . 解法三：（Ⅰ）以 1A 为原点，A1B1，A1D1，A1A 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如图 3 所示的空间直角坐标系，于是， 1(0,0, 3 1), (1,1,0), (0,1, 3 1), (1,0,1),A C D E  1(0,1,0), (0,1, 1).AD EC    因为 1EC 和 AF 是平行平面 1 1BB C D1 1 1C和AA D与平面AEC G的交线 ，所以 1 //EC AF ．设Ｇ（0,y,0）,则 1 1 1(0, , 1 3). // 1 3 AG y EC AG y          由 ,于是 3 1y   . 故 1(0,1 3,0), ( 1, 3,0)G C G   .设异面直线 AD 与 1C G 所成的角的大小为 ,则: 1 1 3cos 2 AD C G AD C G         ,从而 .6   （Ⅱ）作 1 1A H C G H,由三垂线定理知 1,GH AH A HA  1 1故 为二面角A-C G-A 的平面角. 设 H（a,b,0）,则: 1 1( , ,0), ( 1, 1,0)A H a b C H a b     .由 1 1A H C G 得: 1 1 0,C H C G   由此得a- 3b=0.……① 又由 1 1 1 1 1, , // , 1 3 a bH C G C H C G     共线得 ,于是 3 ( 3 1) 0.a b    ……② 联立①②得: 3 3 3 1 3 3 3 1, . ( , )4 4 4 4a b H     故 , 由 2 2 1 1 3 3 1 3 1 3( ) ( ) , 1 34 4 2A H A A        得: 1 1 1 3 1tan 2 3 1 2 A AA HA A H     . （21）（本小题满分 12 分） 已知定义域为 R 的函数 1 2( ) 2 x x bf x a    是奇函数。 （Ⅰ）求 ,a b 的值； （Ⅱ）若对任意的t R ，不等式 2 2( 2 ) (2 ) 0f t t f t k    恒成立， 求 k 的取值范围； 解：（Ⅰ）因为 ( )f x 是奇函数，所以 ( )f x =0，即 1 1 1 20 1 ( )2 2 x x b b f xa a         又由 f（1）= -f（-1）知 111 2 2 2.4 1 aa a       （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知 1 1 2 1 1( ) 2 2 2 2 1 x x xf x       ，易知 ( )f x 在 ( , )  上 为减函数。又因 ( )f x 是奇函数，从而不等式： 2 2( 2 ) (2 ) 0f t t f t k    等价于 2 2 2( 2 ) (2 ) ( 2 )f t t f t k f k t      ，因 ( )f x 为减函数，由上式推得： 2 22 2t t k t   ．即对一切 t R 有： 23 2 0t t k   ， 从而判别式 14 12 0 .3k k       解法二：由（Ⅰ）知 1 1 2( ) 2 2 x xf x    ．又由题设条件得： 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 0 2 2 2 2 t t t k t t t k            ， 即 ： 2 2 2 22 1 2 2 1 2(2 2)(1 2 ) (2 2)(1 2 ) 0t k t t t t t k           ， 整理得 23 22 1,t t k   因底数2>1,故: 23 2 0t t k   上式对一切t R 均成立，从而判别式 14 12 0 .3k k       （22）（本小题满分 12 分） 如图，对每个正整数 n ， ( , )n n nA x y 是抛物线 2 4x y 上的点， 过焦点 F 的直线 nFA 交抛物线于另一点 ( , )n n nB s t 。 （Ⅰ）试证： 4( 1)n nx s n   ； （Ⅱ）取 2n nx  ，并记 nC 为抛物线上分别以 nA 与 nB 为切点的两条切线的交点。 试证： 1 1 2 2 2 1n n nFC FC FC        ； 证明：（Ⅰ）对任意固定的 1,n  因为焦点 F（0,1）,所以可设直线 n nA B 的方程为 1 ,ny k x  将它与抛物线方程 2 4x y 联立得: 2 4 4 0nx k x   ,由一元二次方程根与系数的关系得 4( 1)n nx s n   ． （Ⅱ）对任意固定的 1,n  利用导数知识易得抛物线 2 4x y 在 nA 处 的切线的斜率 ,2n n A xk  故 2 4x y 在 nA 处的切线的方程为： ( )2 n n n xy y x x   ，……① 类似地，可求得 2 4x y 在 nB 处的切线的方程为： ( )2 n n n sy t x s   ，……② 由②－①得： 2 2 2 2 2 2 4 4 n n n n n n n n x s x s x sy t x       ， 2 2 ,2 4 2 n n n n n nx s x s x sx x     ……③ 将③代入①并注意 4n nx s   得交点 nC 的坐标为 ( , 1)2 n nx s  ． 由两点间的距离公式得： 2 2 2 2( ) 4 22 4 4 n n n n n x s x sFC      2 2 2 4 2 22 ( ) ,4 2 2 nn n n n n n xx x FCx x x         ． 现在 2n nx  ，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得： 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1( ) 2( )2 1 1 1 1(2 2 2 ) 2( ) (2 1) (2 2 ) 2 2 1.2 2 2 2 n n n n n n n n n FC FC FC x x x x x x                                   2006 年普通高等学校招生全国统一考试 （重庆卷）数学（文史类）（编辑：ahuazi） 参考公式： 如果事件 A B、 互斥，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B   如果事件 A B、 相互独立，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B   如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率： ( ) (1 )k k n k n nP k C p p   一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题 给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合 U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7},B={3,4,5},则 ( ) ( )A B U U （ D ） （A）{1,6} （B）{4,5} （C）{2,3,4,5,7} （D）{1,2,3,6,7} 解： ( ) ( )A B U U ｛1，3，6｝｛1，2，6，7｝＝｛1，2，3，6，7｝故选 D （2）在等差数列 na 中，若 0na  且 3 7 64a a  ， 5a 的值为( D ) （A）2 （B）4 （C）6 （D）8 解：a3a7＝a52＝64，又 0na  ，所以 5a 的值为 8，故选 D （3）以点（2，－1）为圆心且与直线 3 4 5 0x y   相切的圆的方程为( C ) （A） 2 2( 2) ( 1) 3x y    （B） 2 2( 2) ( 1) 3x y    （C） 2 2( 2) ( 1) 9x y    （D） 2 2( 2) ( 1) 3x y    解：r＝ 2 2 |3 2 4 1 5| 3 4  － （－ ）＋ ＋ ＝3，故选 C （4）若 P 是平面 外一点，则下列命题正确的是( D ) （A）过 P 只能作一条直线与平面 相交 （B）过 P 可作无数条直线与平面 垂直 （C）过 P 只能作一条直线与平面 平行 （D）过 P 可作无数条直线与平面 平行 解：过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，且这个平面内的任一条直线都与已 知平面平行。故选 D （5）  52 3x  的展开式中 2x 的系数为( B ) （A）－2160 （B）－1080 （C）1080 （D）2160 解： 5 5 5 1 5 52 3 3 2r r r r r r r rT C x C x－ － － ＋ ＝ （ ）（－ ）＝（－ ） ，由 5－r＝2 解得 r＝3，故所求 系数为 3 2 2 53 2 C （－ ） ＝－1080 故选 B （6）设函数 ( )y f x 的反函数为 1( )y f x ，且 (2 1)y f x  的图像过点 1( ,1)2 ， 则 1( )y f x 的图像必过( C ) 1 2 （A） 1( ,1)2 （B） 1(1, )2 （C） (1,0) （D） (0,1) 解：当 x＝ 1 2 时，2x－1＝0，即 y＝f（x）的图象过点（0，1），所以 1( )y f x 的图 像必过（1，0）故选 C （7）某地区有 300 家商店，其中大型商店有 30 家，中型商店有 75 家，小型商店 有 195 家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为 20 的样本。 若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是( C ) （A）2 （B）3 （C）5 （D）13 解：各层次之比为：3075195＝2513，所抽取的中型商店数是 5，故选 C （8）已知三点 (2,3), ( 1, 1), (6, )A B C k  ，其中 k 为常数。 若 AB AC  ，则 AB  与 AC  的夹角为 ( D ) （A） 24arccos( )25  （B） 2  或 24arccos 25 （C） 24arccos 25 （D） 2  或 24arccos 25   解：由 AB AC  解得 k＝0 或 6，当 k＝0 时， AB  与 AC  的夹角为 2  ，当 k＝6 时， AB  与 AC  的夹角为 24arccos 25   ，故选 D （9）高三（一）班学生要安排毕业晚会的 4 个音乐节目，2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目 的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( B ) （A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040 解：不同排法的种数为 5 2 5 6A A ＝3600，故选 B （10）若 , (0, )2    ， 3cos( )2 2    , 1sin( )2 2     ，则 cos( )  的值等于( B ) （A） 3 2  （B） 1 2  （C） 1 2 （D） 3 2 解：由 , (0, )2    ，则 2 4 2    － （－ ， ）， 2 2 4    － （－ ， ），又 3cos( )2 2    ， 1sin( )2 2     ，所以 2 6   － ＝ ， 2 6  － ＝－ 解得 3  ＝ ＝ ，所以 cos( )  ＝ 1 2  ，故选 B （11）设 1 1 2 2 9( , ), (4, ), ( , )5A x y B C x y 是右焦点为 F 的椭圆 2 2 125 9 x y  上三个不同的点， 则“ , ,AF BF CF 成等差数列”是 “ 1 2 8x x  ”的( A ) （A）充要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分不必要条件 （D）既非充分也非必要 解：a＝5，b＝3，c＝4，e＝ 4 5 ，F（4，0），由焦半径公式可得|AF|＝5－ 4 5 x1， |BF|＝5－ 4 5 ×4＝ 9 5 ，|CF|＝5－ 4 5 x2，故 , ,AF BF CF 成等差数列（5－ 4 5 x1） ＋（5－ 4 5 x2）＝2× 9 5  1 2 8x x  故选 A （12）若 , , 0a b c  且 2 2 2 4 12a ab ac bc    ，则 a b c  的最小值是( A ) （A） 2 3 （B）3 （C）2 （D） 3 解：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝12＋（b－c）212，当且仅当 b ＝c 时取等号，故选 A 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 24 分。 把答案填写在答题卡相应位置上。 （13）已知 2 5sin 5   ， 2     ，则 tan  -2 。 解：由 2 5sin 5   ， 2     cos＝－ 5 5 ，所以 tan  －2 （14）在数列{ }na 中，若 1 1a  ， 1 2( 1)n na a n    ，则该数列的通项 na  2n-1 。 解：由 1 2( 1)n na a n    可得数列{ }na 为公差为 2 的等差数列，又 1 1a  ，所以 na  2n－1 （15）设 0, 1a a  ，函数 2( ) log ( 2 3)af x x x   有最小值， 则不等式 log ( 1) 0a x   的解集为 (2, ) 。 解：由 0, 1a a  ，函数 2( ) log ( 2 3)af x x x   有最小值可知 a1，所以 不等式 log ( 1) 0a x   可化为 x－11，即 x2. （16）已知变量 x ， y 满足约束条件 2 3 0 3 3 0 1 0 x y x y y           。若目标函数 z ax y  （其中 0a  ） 仅在点 (3,0) 处取得最大值，则 a 的取值范围为 1( , )2  。 解：画出可行域如图所示，其中 B（3，0）， C（1，1），D（0，1），若目标函数 z ax y  取 得最大值，必在 B，C，D 三点处取得，故有 3aa＋1 且 3a1，解得 a 1 2 ： 三．解答题：本大题共 6 小题，共 76 分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分 13 分）甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机， 设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为 1 6 、 1 3 、 1 2 。若在一段时 间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求： （Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率； （Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率； 解：（Ⅰ）由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式， 所求概率为： 3 3 31 1 1 1( ) ( ) ( ) .6 3 2 6p     （Ⅱ）这是 n=3，p= 1 6 的独立重复试验，故所求概率为： 2 2 3 3 1 5 5(2) ( ) ( ) .6 6 72P C  （18）（本小题满分 13 分）设函数 2( ) 3 cos sin cosf x x x x a     （其中 0,a R   ）。且 ( )f x 的图像在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是 6  。 （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）如果 ( )f x 在区间 5[ , ]3 6   上的最小值为 3 ，求 a 的值； 解：（I） 3 1 3 3( ) cos2 sin 2 sin(2 )2 2 2 3 2f x x x x a           依题意得 12 6 3 2 2         ． （II）由（I）知， 3( ) sin( )3 2f x x      ．又当 5[ , ]3 6x    时， 7[0, ]3 6x    ，故 1 sin( ) 12 3x     ，从而 ( )f x 在区间 π 5π 3 6     ， 上的最小值为 1 33 2 2 a    ，故 3 1.2a  （19）（本小题满分 12 分） 设函数 3 2( ) 3 3f x x ax bx   的图像与直线12 1 0x y   相切于点 (1, 11) 。 （Ⅰ）求 ,a b 的值； （Ⅱ）讨论函数 ( )f x 的单调性。 解：（Ⅰ）求导得 ' 2( ) 3 6 3f x x ax b   。 由于 ( )f x 的图像与直线12 1 0x y   相切于点 (1, 11) ， 所以 '(1) 11, (1) 12f f    ，即： 1-3a+3b = -11 解得: 1, 3a b   ． 3-6a+3b=-12 （Ⅱ）由 1, 3a b   得： ' 2 2( ) 3 6 3 3( 2 3) 3( 1)( 3)f x x ax b x x x x         令 f′（x）＞0，解得 x＜-1 或 x＞3；又令 f′（x）< 0，解得 -1＜x＜3. 故当 x（  , -1）时，f(x)是增函数，当 x（3,  ）时，f(x)也是增函数， 但当 x（-1 ，3）时，f(x)是减函数. （20）（本小题满分 12 分） 如图，在正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 11, 3 1AB BB   ， E 为 1BB 上使 1 1B E  的点。 平面 1AEC 交 1DD 于 F ，交 1 1A D 的延长线于G ，求： （Ⅰ）异面直线 AD 与 1C G 所成角的大小； （Ⅱ）二面角 1 1A C G A  的正切值； 解法一：（Ⅰ）由 1 1 1//AD D G C GD知 为异面直线 AD 与 1C G 所成角．（如图 1） 连接 1C F ．因为ＡＥ和 1C F 分别是平行平面 1 1 1 1ABB A CC D D 1和 与平面AEC G的交线 ， 所以 AE// 1C F ,由此得 1 1 13. 3.D F BF FD G FDA D G     再由 1 1 6Rt C D G   1 1 1 1在 中,由C D =1得 C GD （Ⅱ）作 1 1D H C G 于 H,由三垂线定理知 1 1,FH C G D HF  1 1故 为二面角F-C G-D 即二面角 1 1A C G A  的平面角. 1 1 3, 6 2Rt HD G H D H   1 1在 中,由D G= 3 GD 得 . 从而 1 1 1 3tan 2 3 2 D FD HF D H    . 解法二：（Ⅰ）由 1 1 1//AD D G C GD知 为异面直线 AD 与 1C G 所成角．（如图 2） 因为 1EC 和 AF 是平行平面 1 1BB C D1 1 1C与平面AA D与平面AEC G的交线 ， 所以 1 //EC AF ,由此得 1 1 1 1 1 1, 3 1 3.4AGA EC B AG AA D G          1 1 6Rt C D G   1 1 1 1在 中,由C D =1得 C GD （Ⅱ） 1 1 1 14 6AC G AC G    1 1 1 1在 中,由 C A G= , A GC = 知 为钝角。 作 1 1 1A H GC GC 交 的延长线于 H,连接 AH，由三垂线定理知 1,GH AH A HA  1 1故 为二面角A-C G-A 的平面角. 1 1 3 11, 6 2Rt A HG H H     1 1在 中,由A G= 3 GA 得A . 从而 1 1 1 3 1tan 2 3 1 2 A AA HA A H     . 解法三：（Ⅰ）以 1A 为原点，A1B1，A1D1，A1A 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如图 3 所示的空间直角坐标系，于是， 1(0,0, 3 1), (1,1,0), (0,1, 3 1), (1,0,1),A C D E  1(0,1,0), (0,1, 1).AD EC    因为 1EC 和 AF 是平行平面 1 1BB C D1 1 1C和AA D与平面AEC G的交线 ，所以 1 //EC AF ．设Ｇ（0,y,0）,则 1 1 1(0, , 1 3). // 1 3 AG y EC AG y          由 ,于是 3 1y   . 故 1(0,1 3,0), ( 1, 3,0)G C G   .设异面直线 AD 与 1C G 所成的角的大小为 ,则: 1 1 3cos 2 AD C G AD C G         ,从而 .6   （Ⅱ）作 1 1A H C G H,由三垂线定理知 1,GH AH A HA  1 1故 为二面角A-C G-A 的平面角. 设 H（a,b,0）,则: 1 1( , ,0), ( 1, 1,0)A H a b C H a b     .由 1 1A H C G 得: 1 1 0,C H C G   由此得a- 3b=0.……① 又由 1 1 1 1 1, , // , 1 3 a bH C G C H C G     共线得 ,于是 3 ( 3 1) 0.a b    ……② 联立①②得: 3 3 3 1 3 3 3 1, . ( , )4 4 4 4a b H     故 , 由 2 2 1 1 3 3 1 3 1 3( ) ( ) , 1 34 4 2A H A A        得: 1 1 1 3 1tan 2 3 1 2 A AA HA A H     . （21）（本小题满分 12 分） 已知定义域为 R 的函数 1 2( ) 2 x x bf x a    是奇函数。 （Ⅰ）求 ,a b 的值； （Ⅱ）若对任意的t R ，不等式 2 2( 2 ) (2 ) 0f t t f t k    恒成立， 求 k 的取值范围； 解：（Ⅰ）因为 ( )f x 是奇函数，所以 (0)f =0，即 1 1 1 20 1 ( )2 2 x x b b f xa a         又由 f（1）= -f（-1）知 111 2 2 2.4 1 aa a       （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知 1 1 2 1 1( ) 2 2 2 2 1 x x xf x       ，易知 ( )f x 在 ( , )  上 为减函数。又因 ( )f x 是奇函数，从而不等式： 2 2( 2 ) (2 ) 0f t t f t k    等价于 2 2 2( 2 ) (2 ) ( 2 )f t t f t k f k t      ，因 ( )f x 为减函数，由上式推得： 2 22 2t t k t   ．即对一切 t R 有： 23 2 0t t k   ， 从而判别式 14 12 0 .3k k       解法二：由（Ⅰ）知 1 1 2( ) 2 2 x xf x    ．又由题设条件得： 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 0 2 2 2 2 t t t k t t t k            ， 即 ： 2 2 2 22 1 2 2 1 2(2 2)(1 2 ) (2 2)(1 2 ) 0t k t t t t t k           ， 整理得 23 22 1,t t k   因底数2>1,故: 23 2 0t t k   上式对一切t R 均成立，从而判别式 14 12 0 .3k k       （22）（本小题满分 12 分） 如图，对每个正整数 n ， ( , )n n nA x y 是抛物线 2 4x y 上的点， 过焦点 F 的直线 nFA 交抛物线于另一点 ( , )n n nB s t 。 （Ⅰ）试证： 4( 1)n nx s n   ； （Ⅱ）取 2n nx  ，并记 nC 为抛物线上分别以 nA 与 nB 为切点的两条切线的交点。 试证： 1 1 2 2 2 1n n nFC FC FC        ； 证明：（Ⅰ）对任意固定的 1,n  因为焦点 F（0,1）,所以可设直线 n nA B 的方程为 1 ,ny k x  将它与抛物线方程 2 4x y 联立得: 2 4 4 0nx k x   ,由一元二次方程根与系数的关系得 4( 1)n nx s n   ． （Ⅱ）对任意固定的 1,n  利用导数知识易得抛物线 2 4x y 在 nA 处 的切线的斜率 ,2n n A xk  故 2 4x y 在 nA 处的切线的方程为： ( )2 n n n xy y x x   ，……① 类似地，可求得 2 4x y 在 nB 处的切线的方程为： ( )2 n n n sy t x s   ，……② 由②－①得： 2 2 2 2 2 2 4 4 n n n n n n n n x s x s x sy t x       ， 2 2 ,2 4 2 n n n n n nx s x s x sx x     ……③ 将③代入①并注意 4n nx s   得交点 nC 的坐标为 ( , 1)2 n nx s  ． 由两点间的距离公式得： 2 2 2 2( ) 4 22 4 4 n n n n n x s x sFC      2 2 2 4 2 22 ( ) ,4 2 2 nn n n n n n xx x FCx x x         ． 现在 2n nx  ，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得： 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1( ) 2( )2 1 1 1 1(2 2 2 ) 2( ) (2 1) (2 2 ) 2 2 1.2 2 2 2 n n n n n n n n n FC FC FC x x x x x x                                  