【数学】2020届一轮复习人教A版第十六章选修4第13课　矩阵的简单应用作业（江苏专用） 4页

随堂巩固训练(13)‎ ‎ 1. 已知矩阵M＝，β＝，试计算M9β.‎ ‎ 2. 已知二阶矩阵A＝，向量β＝.‎ ‎(1) 求二阶矩阵A的特征值和特征向量；‎ ‎(2) 计算A2β.‎ ‎ 3. 在平面直角坐标系中，矩阵M对应的变换将平面上任意一点P(x，y)变换为点P′(2x＋y，3x)．‎ ‎(1) 求矩阵M的逆矩阵M－1；‎ ‎(2) 求曲线4x＋y－1＝0在矩阵M的变换作用后得到的曲线C′的方程．‎ ‎ 4. 已知甲、乙两个种群相互影响，其数列量分别为{an}，{bn}，a1＝20，b1＝30，且有关系式试求10个时段后甲、乙两个种群的数量．‎ 随堂巩固训练(13)‎ ‎1. 解析：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－3)(λ＋2)＋4＝λ2－λ－2.‎ 令f(λ)＝0，得λ1＝2，λ2＝－1.‎ 当λ1＝2时，对应的一个特征向量为α1＝；‎ 当λ1＝－1时，对应的一个特征向量为α2＝.‎ 又因为β＝＝α1＋2α2，‎ 所以M9β＝29＋(－1)9×2＝.‎ ‎2. 解析：(1) 矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)2－4，‎ 令f(λ)＝0，解得矩阵A的特征值λ1＝3，λ2＝－1.‎ 当λ1＝3时，代入二元一次方程组 解得y＝x，令x＝1，‎ 所以属于特征值λ1＝3的一个特征向量为α1＝；‎ 当λ2＝－1时，代入二元一次方程组 解得y＝－x，令x＝1，‎ 所以属于特征值λ2＝－1的一个特征向量为a2＝.‎ ‎(2) 由(1)知α1＝，α2＝，‎ 令β＝mα1＋nα2，‎ 则＝m＋n，解得m＝2，n＝0，‎ 所以A2β＝A2(2α1＋0×α2)＝2×32＝.‎ ‎3. 解析：(1) 设点P(x，y)在矩阵M对应的变换作用下所得的点P′(x′，y′)，‎ 则即＝，‎ 所以M＝.‎ 又||＝－3，所以M－1＝.‎ ‎(2) 设点A(x，y)在矩阵M对应的变换作用下所得的点为A′(x′，y′)，则＝M－1‎ eq blc[rc](avs4alco1(x′,y′))，‎ 即＝，即所以代入4x＋y－1＝0，得4＋－1＝0，即变换后的曲线方程为3x＋2y－3＝0.‎ ‎4. 解析：由条件得转移矩阵M＝，‎ 由f(λ)＝＝λ2－1.5λ＋0.5，‎ 令f(λ)＝0得λ1＝0.5，λ2＝1，属于λ1＝0.5的一个特征向量为α1＝，属于λ2＝1的一个特征向量为α2＝.‎ 又由＝＝mα1＋nα2，解得 所以M10＝14×0.510×＋2×110×≈，即10个时段后，甲种群的数量约为6，乙种群的数量约为2.‎