【数学】2020届数学文一轮复习第九章第8讲直线与圆锥曲线的位置关系作业 9页

‎1．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于(　　)‎ A．±　　　　　　　　　　 B.± C．± D．±2‎ 解析：选A.将直线与椭圆方程联立，‎ 化简整理得(3＋4k2)x2＝12，(*)‎ 因为分别过A，B向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，‎ 故方程的两个根为±1，‎ 代入方程(*)，得k＝±，故选A.‎ ‎2．直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的交点个数是(　　)‎ A．1 B.2‎ C．1或2 D．0‎ 解析：选A.因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．‎ ‎3．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于(　　)‎ A. B. C. D．4‎ 解析：选C.由 消去y得ax2－x＋1＝0，‎ 所以解得a＝.‎ ‎4．已知直线y＝2(x－1)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，点M(－1，m)，若·＝0，则m等于(　　)‎ A. B. C. D．0‎ 解析：选B.由题意可得 ‎8x2－20x＋8＝0，‎ 解得x＝2或x＝，‎ 则A(2，2)，B(，－)．‎ 点M(－1，m)，‎ 由·＝0，‎ 可得(3，2－m)·＝0.‎ 化简2m2－2m＋1＝0，‎ 解得m＝.故选B.‎ ‎5．抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点，若P(1，1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为(　　)‎ A．y＝2x2 B.y2＝2x C．x2＝2y D．y2＝－2x 解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px，则两式相减可得2p＝×(y1＋y2)＝kAB×2＝2，即可得p＝1，‎ 所以抛物线C的方程为y2＝2x.‎ ‎6．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·＝________．‎ 解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，‎ 所以·＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.‎ 答案：－ ‎7．如图，过抛物线y＝x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2＋(y－1)2＝1交于A，B，C ‎，D四点，则·＝________．‎ 解析：不妨设直线AB的方程为y＝1，联立 ，解得x＝±2，则A(－2，1)，‎ D(2，1)，因为B(－1，1)，C(1，1)，‎ 所以＝(1，0)，＝(－1，0)，所以·＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎8．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________________．‎ 解析：因为椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，则a2－b2＝4，所以可设椭圆方程为＋＝1，‎ 联立得 ‎(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，‎ 设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点为(x1，y1)，(x2，y2)，‎ 由一元二次方程根与系数的关系得：‎ y1＋y2＝＝2.‎ 解得：b2＝8.所以a2＝12.‎ 则椭圆方程为＋＝1.‎ 答案：＋＝1‎ ‎9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线－x2＝1的焦点重合，过点P(4，0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)求·的取值范围．‎ 解：(1)由题意知e＝＝，‎ 所以e2＝＝＝，所以a2＝b2.‎ 因为双曲线－x2＝1的焦点坐标为(0，±)，‎ 所以b＝，所以a2＝4，‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)当直线l的倾斜角为0°时，不妨令A(－2，0)，B(2，0)，则·＝－4；‎ 当直线l的倾斜角不为0°时，设其方程为x＝my＋4，‎ 由⇒(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0，‎ 由Δ>0⇒(24m)2－4×(3m2＋4)×36>0⇒m2>4，‎ 设A(my1＋4，y1)，B(my2＋4，y2)．‎ 因为y1＋y2＝－，y1y2＝，‎ 所以·＝(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝m2y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＋y1y2＝－4，‎ 因为m2>4，所以·∈.‎ 综上所述，·的取值范围为.‎ ‎10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)当△F2AB的面积为时，求直线的方程．‎ 解：(1)因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，‎ 所以＋＝1.①‎ 又因为离心率为，所以＝，‎ 所以＝.②‎ 解①②得a2＝4，b2＝3.‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)当直线的倾斜角为时，‎ 不妨取A，B，‎ S△ABF2＝|AB|·|F1F2|＝×3×2＝3≠.‎ 当直线的倾斜角不为时，设直线方程为y＝k(x＋1)，‎ 代入＋＝1得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ 所以S△ABF2＝|y1－y2|×|F1F2|‎ ‎＝|k| ‎＝|k| ‎＝＝，‎ 所以17k4＋k2－18＝0，‎ 解得k2＝1，‎ 所以k＝±1，‎ 所以所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.‎ ‎1．过抛物线y2＝4x的焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，则＋等于(　　)‎ A．2 B.4‎ C. D． 解析：选D.抛物线y2＝4x，可知2p＝4，设直线l1的倾斜角为θ(θ为锐角)，则l2的倾斜角为＋θ，AB，CD为过焦点的弦，|AB|＝，|CD|＝＝，‎ 所以＋＝＋＝＝.故选D.‎ ‎2．(2019·石家庄第一次模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)过点A，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若＝λ，则实数λ＝(　　)‎ A. B. C．2 D．3‎ 解析：选C.把点A(，)代入抛物线的方程，‎ 得2＝2p×，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，则B(－1，0)，设M(，yM)，则＝(－，－)，＝(－1－，－yM)．由＝λ，得，解得λ＝2或λ＝1(舍去)，故选C.‎ ‎3．已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．‎ 解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，‎ 则 由②－①得(x2－x1)(x2＋x1)＝(y2－y1)(y2＋y1)，显然x1≠x2.‎ 所以·＝3，即kMN·＝3，‎ 因为M，N关于直线y＝x＋m对称，‎ 所以kMN＝－1，‎ 因为y0＝－3x0.‎ 又因为y0＝x0＋m，‎ 所以P，‎ 代入抛物线方程得m2＝18·，‎ 解得m＝0或－8，经检验都符合．‎ 答案：0或－8‎ ‎4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．‎ 解析：法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1.由消去x得y2＝4 ‎，即y2－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4，由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝，x1x2＝1与y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2.‎ 法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以y－y＝4(x1－x2)，则k＝＝，取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝－1上，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2.‎ 答案：2‎ ‎5．(2017·高考北京卷)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)．过点(0，)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．‎ ‎(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎(2)求证：A为线段BM的中点．‎ 解：(1)由抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，得p＝.‎ 所以抛物线C的方程为y2＝x.‎ 抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－.‎ ‎(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 由 得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0.‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)．‎ 直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为.‎ 因为y1＋－2x1＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝0，‎ 所以y1＋＝2x1.‎ 故A为线段BM的中点．‎ ‎6．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为.已知A是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为.‎ ‎(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；‎ ‎(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为，求直线AP的方程．‎ 解：(1)设F的坐标为(－c，0)．‎ 依题意，＝，＝a，a－c＝，‎ 解得a＝1，c＝，p＝2，于是b2＝a2－c2＝.‎ 所以，椭圆的方程为x2＋＝1，‎ 抛物线的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)设直线AP的方程为x＝my＋1(m≠0)，与直线l的方程x＝－1联立，可得点P，‎ 故Q.将x＝my＋1与x2＋＝1联立，‎ 消去x，整理得(3m2＋4)y2＋6my＝0，‎ 解得y＝0或y＝.由点B异于点A，‎ 可得点B.由Q，‎ 可得直线BQ的方程为 (x＋1)－＝0，令y＝0，解得x＝，故D.‎ 所以|AD|＝1－＝.‎ 又因为△APD的面积为，故××＝，整理得3m2－2|m|＋2＝0，‎ 解得|m|＝，所以m＝±.‎ 所以，直线AP的方程为 ‎3x＋y－3＝0或3x－y－3＝0.‎