人教新课标A版高一数学1-2-2解决有关测量高度的问题） 2页

备课资料 备用例题 1.地平面上有一旗杆 OP，为了测得它的高度 h，在地面上选一基线 AB，AB=20 m,在 A 点处 测得 P 点的倾角∠OAP=30°,在 B 点处测得 P 点的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=60°，求 旗杆的高度 h.（结果保留两个有效数字） 思路分析：在看图时要注意结合实际——旗杆 OP 垂直地面，所以△AOP 和△BOP 都是直 角三角形．又这两个三角形中各已知一个锐角，那么其他各边均可用 h 的代数式表示．在 △AOB 中，已知一边及其对角，另两边均为 h 的代数式，可利用余弦定理构造方程，解这 个方程即求出旗杆高 h． 解：在 Rt△AOP 中，∠OAP=30°，OP=h, ∴OA=OP·cot30°=3h. 在 Rt△BOP 中，∠OBP=45°，∴OB=OP·cot45°=h. 在△AOB 中，AB=20，∠AOB=60°， 由余弦定理得 AB2=OA2+OB2-2×OA×OB·cos60°， 即 202=（ h3 ）2+h2-2·3h·h· 2 1 ,解得 h2= 34 400  ≈176.4,∴h≈13. 答：旗杆高度约为 13 m． 点评：（1）仰角和俯角是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角，当视线在水平线之上时，称 为仰角，当视线在水平线之下时称为俯角． （2）由余弦定理（正弦定理）构造方程，是解决此问题的关键．方程思想是解决问题的一 种常用思想方法． 2.在某时刻，A 点西 400 千米的 B 处是台风中心，台风以每小时 40 千米的速度向东北方向 直线前进，以台风中心为圆心、300 千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多 长时间 A 进入台风圈？A 处在台风圈中的时间有多长？ 解：如图，以 AB 为边，B 为顶点作∠ABP=45° （点 P 在 B 点的东北方向上），射线 BP 即台风中心 B 的移动方向，以 A 点为圆心、300 千 米为半径画弧交射线 BP 于 C、D 两点，显然当台风中心从 B 点到达 C 点时，A 点开始进入 台风圈，台风中心在 CD 上移动的时间即为 A 处在台风圈中的时间．设台风中心由 B 到 C 要 t 小时，在△ABC 中，AB=400（千米），AC=300（千米），BC=40t（千米），∠ABC=45°， 由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC， 即 3002=4002+(40t)2-2×400×40t·cos45°. ∴4t2-402t+175=0. ∴ 2 5210 8 20240 t . ∴ )2 12(52 5210 t =4.6（小时）. t2-t1= 2 5210 2 5210  =5（小时）. 答：经过 4.6 小时 A 进入台风圈，A 处在台风圈中的时间为 5 小时．