【数学】2020届数学文一轮复习第九章第5讲椭圆作业 8页

‎1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为(　　)‎ A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析：选C.不妨设a>0，因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.‎ ‎2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切，则椭圆C的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D．＋＝1‎ 解析：选C.由题意知e＝＝，所以e2＝＝＝，即a2＝b2.以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x2＋y2＝b2，由题意可知b＝＝，所以a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为＋＝1，故选C.‎ ‎3．设椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为(　　)‎ A．3 B.3或 C. D．6或3‎ 解析：选C.由已知a＝2，b＝，c＝1，则点P为短轴顶点(0，)时，∠F1PF2＝，△PF1F2是正三角形，若△PF1F2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P，只能是焦点F1(或F2)为直角顶点，此时|PF1|＝＝，S△PF1F2＝··2c＝＝.故选C.‎ ‎4．已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，|PF|＝|AF|，则该椭圆的离心率是(　　)‎ A. B. C. D． 解析：选B.由题可知点P的横坐标是－c，代入椭圆方程，有＋＝1，得y＝±.又|PF|＝|AF|，即＝(a＋c)，化简得4c2＋ac－3a2＝0，即4e2＋e－3＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．‎ ‎5．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)‎ A. . C. . 解析：选D.由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，因为△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以|OF2|＝c，所以点P坐标为(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即点P(2c，c)．因为点P在过点A，且斜率为的直线上，所以＝，解得＝，所以e＝，故选D.‎ ‎6．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．‎ 解析：因为方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则由得故k的取值范围为(1，2)．　‎ 答案：(1，2)‎ ‎7．若n是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的离心率是________．‎ 解析：由n2＝2×8，得n＝±4，当n＝4时，曲线为椭圆，其离心率为e＝＝；当n＝－4时，曲线为双曲线，其离心率为e＝＝.‎ 答案：或 ‎8．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶，则椭圆C的方程是_________________________________．‎ 解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．‎ 由题意知 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ 答案：＋＝1‎ ‎9．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率．‎ ‎(2)设O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．‎ 解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ 所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.‎ 因此a＝2，c＝.‎ 故椭圆C的离心率e＝＝.‎ ‎(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.‎ 因为OA⊥OB，所以·＝0，‎ 即tx0＋2y0＝0，‎ 解得t＝－.又x＋2y＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝＋(y0－2)2‎ ‎＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4(0b>0)，‎ 由题意可得c＝，又e＝＝，所以a＝2.‎ 所以b2＝a2－c2＝2，‎ 所以椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由＝2，得 验证易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程整理，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，所以x1＋x2＝，x1·x2＝.‎ 将x1＝－2x2代入上式可得，()2＝，‎ 解得k2＝.‎ 所以△AOB的面积S＝|OP|·|x1－x2|＝＝·＝.‎ ‎1．(2019·广州综合测试(一))已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使得∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)‎ A．(，1) B.(，1)‎ C．(0，) D．(0，)‎ 解析：选A.法一：设P(x0，y0)，由题易知|x0|x＋y有解，即c2>(x＋y)min，又y＝b2－x，xb2，又b2＝a2－c2，所以e2＝>，解得e>，又0，又0b>0)，焦距为2c，右焦点为F′，连接PF′，如图所示．因为F(－2，0)为C的左焦点，所以c＝2.由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.‎ 在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8.由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝4＋8＝12，所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎4．已知椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若|k1·k2|＝，则椭圆的离心率为________．‎ 解析：设M(x0，y0)，则N(x0，－y0)，|k1·k2|＝＝＝＝＝，‎ 从而e＝＝.‎ 答案： ‎5．(2017·高考北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.‎ 解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．‎ 由题意得解得c＝.‎ 所以b2＝a2－c2＝1.‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明：设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，－n)．‎ 由题设知m≠±2，且n≠0.‎ 直线AM的斜率kAM＝，故直线DE的斜率kDE＝－.‎ 所以直线DE的方程为y＝－(x－m)．‎ 直线BN的方程为y＝(x－2)．‎ 联立解得点E的纵坐标yE＝－.‎ 由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，‎ 所以yE＝－n.‎ 又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，‎ S△BDN＝|BD|·|n|，‎ 所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.‎ ‎6．(2019·合肥质量检测(一))已知点F为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)设直线＋＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．‎ 解：(1)由题意，得a＝2c，b＝c，则椭圆E为＋＝1.‎ 由，得x2－2x＋4－3c2＝0.‎ 因为直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M，‎ 所以Δ＝4－4(4－3c2)＝0⇒c2＝1，‎ 所以椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由(1)得M(1，)，‎ 因为直线＋＝1与y轴交于P(0，2)，‎ 所以|PM|2＝，‎ 当直线l与x轴垂直时，‎ ‎|PA|·|PB|＝(2＋)×(2－)＝1，‎ 所以λ|PM|2＝|PA|·|PB|⇒λ＝，‎ 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由⇒(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，‎ 依题意得，x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)>0，‎ 所以|PA|·|PB|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)·＝1＋＝λ，所以λ＝(1＋)，‎ 因为k2>，所以<λ<1.‎ 综上所述，λ的取值范围是[，1)．‎