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- 2021-05-26 发布
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滚动测试卷一
(时间:120 分钟 满分:150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.(2017 辽宁沈阳一模)若 P={x|x<4},Q={x|x2<4},则( )
A.P⊆Q B.Q⊆P C.P⊆∁ RQ D.Q⊆∁ RP
2.不等式-x2+|x|+2<0 的解集是( )
A.{x|-22} C.{x|-11}
3.若幂函数的图象经过点(3, ),则该函数的解析式为( )
A.y=x3 B.y= C.y= D.y=x-1
4.下列判断错误的是( )
A.命题“若 am2≤bm2,则 a≤b”是假命题
B.命题“∀x∈R,x3-x2-1≤0”的否定是“∃x0∈R, -1>0”
C.“若 a=1,则直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的逆否命题为真命题
D.命题“p∨q 为真命题”是命题“p∧q 为真命题”的充分不必要条件
5.下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)内单调递增的是( )
A.y=sin x B.y=-x2+ C.y=x3+3x D.y=e|x|
6.若函数 y=x2-3x-4 的定义域为[0,m],值域为 ,则 m 的取值范围是( )
A.(0,4] B. C. D.
7.设函数 f(x)= 若 f =8,则 m=( )
A.2 B.1 C.2 或 1 D.
8.(2017 福建宁德一模)已知函数 f(x)=ex+e-x,则 y=f'(x)的图象大致为( )
9.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且最小正周期为 2,当 0≤x≤1 时,f(x)=x,则 f(-1)+f(-2
017)=( )
A.0 B. C.1 D.2
10.(2017 辽宁鞍山一模)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)+f(1-x)=2.当 x>1
时,f(x)= ,则关于 x 的方程 f(x)+2a=0 没有负实根时实数 a 的取值范围是( )
A.(-∞,-1]∪ B.(0,1)
C. D.
11.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x>0 时,不等式 f(x)+x·f'(x)<0 成立,若
a=30.2·f(30.2),b=(logπ2)·f(logπ2),c= ·f ,则 a,b,c 的大小关系为( )
A.c>b>a B.c>a>b
C.b>a>c D.a>c>b
12.已知函数 f(x)= +sin πx 在[0,1)内的最大值为 m,在(1,2]上的最小值为 n,则 m+n=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知曲线 f(x)=ln x 在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,1),则 x0 的值为 .
14.(2017 江苏,11)已知函数 f(x)=x3-2x+ex- ,其中 e 是自然对数的底数.若 f(a-1)+f(2a2)≤0,则
实数 a 的取值范围是 .
15.已知函数 f(x)= 的值域是[0,2],则实数 a 的取值范围
是 .
16.已知函数 f(x)=x2+ ,g(x)= -m.若∀x1∈[1,2],∃x2∈[-1,1],使 f(x1)≥g(x2),则实数 m 的取
值范围是 .
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
17.(10 分)已知 a∈R,函数 f(x)=log2 .
(1)当 a=5 时,解不等式 f(x)>0;
(2)若关于 x 的方程 f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0 的解集中恰有一个元素,求 a 的取值范围;
(3)设 a>0,若对任意 t∈ ,函数 f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过 1,求 a 的
取值范围.
18.(12 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]
时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式;
(3)求 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 015)的值.
19.
(12 分)如图,在半径为 30 cm 的四分之一圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料 OABC,其中点 B
在圆弧上,点 A,C 在两半径上,现将此矩形铝皮 OABC 卷成一个以 AB 为母线的圆柱形罐子的侧面(不
计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长 AB=x cm,圆柱的体积为 V cm3.
(1)写出体积 V 关于 x 的函数解析式;
(2)当 x 为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积 V 最大?
20.(12 分)(2017 安徽合肥一模)已知函数 f(x)= (a∈R).
(1)求函数 f(x)的单调区间;
(2)若∀x∈[1,+∞),不等式 f(x)>-1 恒成立,求实数 a 的取值范围.
21.(12 分)已知函数 f(x)= ,其中 a∈R.
(1)若 a=0,求函数 f(x)的定义域和极值.
(2)当 a=1 时,试确定函数 g(x)=f(x)-1 的零点个数,并证明.
22.(12 分)已知函数 f(x)=2ln x-x2+ax(a∈R).
(1)若函数 f(x)的图象在 x=2 处的切线斜率为-1,且不等式 f(x)≥2x+m 在 上有解,求实数 m 的
取值范围;
(2)若函数 f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点 A(x1,0),B(x2,0),且 00,
即(|x|+1)(|x|-2)>0,
故|x|-2>0,解得 x>2 或 x<-2.
3.B 解析设幂函数解析式为 y=xα,则 =3α,
故α= ,即 y= .故选 B.
4.D 解析 A 中,当 m=0 时,满足 am2≤bm2,但 a 可以大于 b,故命题是假命题,故正确;
B 显然正确;C 中,原命题是真命题,故其逆否命题也为真命题,故正确;
D 中,p∨q 为真命题,可知 p,q 至少有一个为真,但推不出 p∧q 为真命题,故错误.故选 D.
5.C 解析选项 A,C 中函数为奇函数,又函数 y=sinx 在(0,+∞)内不是单调函数,故选 C.
6.C 解析 y=x2-3x-4= .当 x=0 或 x=3 时,y=-4,故 ≤m≤3.
7.B 解析∵f =8,
∴f(4-m)=8.
若 4-m<1,即 30 时,F'(x)=[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)<0,即函数 F(x)在(0,+∞)内单
调递减,又 y=f(x)在 R 上是偶函数,则 F(x)在 R 上是奇函数,从而 F(x)在 R 上单调递减,又
30.2>1,0logπ2>log2 ,所以 F(30.2)0,得 x>1;由 f'(x)<0,得 00,得 +5>1,
解得 x∈ ∪(0,+∞).
(2) +a=(a-4)x+2a-5,(a-4)x2+(a-5)x-1=0,
当 a=4 时,x=-1,经检验,满足题意.
当 a=3 时,x1=x2=-1,经检验,满足题意.
当 a≠3 且 a≠4 时,x1= ,x2=-1,x1≠x2.
x1 是原方程的解当且仅当 +a>0,即 a>2;
x2 是原方程的解当且仅当 +a>0,即 a>1.
于是满足题意的 a∈(1,2].
综上,a 的取值范围为(1,2]∪{3,4}.
(3)当 0 +a,
log2 >log2 ,
所以 f(x)在(0,+∞)内单调递减.
函数 f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值分别为 f(t),f(t+1).
f(t)-f(t+1)=log2 -log2 ≤1 即 at2+(a+1)t-1≥0,对任意 t∈ 成立.
因为 a>0,所以函数 y=at2+(a+1)t-1 在区间 上单调递增,当 t= 时,y 有最小值 a- ,
由 a- ≥0,得 a≥ .
故 a 的取值范围为 .
18.(1)证明因为 f(x+2)=-f(x),
所以 f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
所以 f(x)是周期为 4 的周期函数.
(2)解当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2].
由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,
又 f(x)是奇函数,
所以 f(-x)=-f(x)=-2x-x2,
所以 f(x)=x2+2x.
又当 x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],
所以 f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).
又 f(x)是周期为 4 的周期函数,
所以 f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.从而求得当 x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.
(3)解 f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.
又 f(x)是周期为 4 的周期函数,
所以 f(0)+f(1)+f(2)+f(3)
=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…
=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)
=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0.
所以 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2015)=0.
19.
解(1)连接 OB,因为 AB=xcm,
所以 OA= cm.
设圆柱的底面半径为 rcm,
则 =2πr,
即 4π2r2=900-x2,
所以 V=πr2x=π· ·x= ,其中 0- 时,令 x2-2x-2a=0,
解得 x1=1- ,x2=1+ .
∴函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,1- )和(1+ ,+∞),单调递减区间为(1-
,1+ ).
(2)∵f(x)>-1⇔ >-1⇔2a>x2-ex,
∴由条件知,2a>x2-ex 对∀x≥1 成立.
令 g(x)=x2-ex,h(x)=g'(x)=2x-ex,∴h'(x)=2-ex.
当 x∈[1,+∞)时,h'(x)=2-ex≤2-e<0,
∴h(x)=g'(x)=2x-ex 在[1,+∞)上单调递减,
∴h(x)=2x-ex≤2-e<0,即 g'(x)<0,
∴g(x)=x2-ex 在[1,+∞)上单调递减,
∴g(x)=x2-ex≤g(1)=1-e,
故 f(x)>-1 在[1,+∞)上恒成立,只需 2a>g(x)max=1-e,∴a> ,即实数 a 的取值范围是
.
21.解(1)当 a=0 时,函数 f(x)= 的定义域为{x|x∈R,且 x≠-1},f'(x)= .
令 f'(x)=0,得 x=0.
当 x 变化时,f'(x)和 f(x)的变化情况如下:
x (-∞,-1) (-1,0) 0 (0,+∞)
f'(x) - - 0 +
f(x) 单调递减 单调递减 极小值 单调递增
所以 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(-1,0);单调递增区间为(0,+∞).故当 x=0 时,函数 f(x)有
极小值 f(0)=1.
函数 f(x)无极大值.
(2)函数 g(x)存在两个零点.证明过程如下:
由题意,函数 g(x)= -1.
因为 x2+x+1= >0,所以函数 g(x)的定义域为 R.
求导,得 g'(x)= ,
令 g'(x)=0,得 x1=0,x2=1,当 x 变化时,g(x)和 g'(x)的变化情况如下:
x (-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)
g'(x) + 0 - 0 +
g(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
故函数 g(x)的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为(-∞,0),(1,+∞).
当 x=0 时,函数 g(x)有极大值 g(0)=0;
当 x=1 时,函数 g(x)有极小值 g(1)= -1.
因为函数 g(x)在(-∞,0)内单调递增,且 g(0)=0,所以对于任意 x∈(-∞,0),g(x)≠0.
因为函数 g(x)在(0,1)内单调递减,且 g(0)=0,所以对于任意 x∈(0,1),g(x)≠0.
因为函数 g(x)在(1,+∞)内单调递增,且 g(1)= -1<0,g(2)= -1>0,
所以函数 g(x)在(1,+∞)内有且仅有一个 x0,使得 g(x0)=0,
故函数 g(x)存在两个零点(即 0 和 x0).
22.(1)解由 f'(x)= -2x+a,可知切线的斜率 k=f'(2)=a-3=-1,故 a=2.
因此 f(x)=2lnx-x2+2x.
由 f(x)≥2x+m,得 m≤2lnx-x2.
∵不等式 f(x)≥2x+m 在 上有解,
∴m≤(2lnx-x2)max.
令 g(x)=2lnx-x2,
则 g'(x)= -2x= .
∵x∈ ,∴当 g'(x)=0 时,x=1.
当 0;当 10,
∴μ(t)在(0,1)内是增函数,∴μ(t)<μ(1)=0,
从而知 +ln <0,
故 <0,
即 f' <0 成立.
予少家汉东，
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