高中数学第一章1-2-2函数的单调性与导数练习新人教B版选修2-2 6页

湖南省新田县第一中学高中数学 第一章 1.2.2 函数的单调性与导 数练习 新人教 B 版选修 2-2 班级___________ 姓名___________学号___________ 1．在下列结论中，正确的有 ( )． ①单调增函数的导数也是单调增函数； ②单调减函数的导数也是单调减函数； ③单调函数的导数也是单调函数； ④导函数是单调的，则原函数也是单调的． A．0 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．函数 y＝1 2 x2－ln x 的单调减区间是 ( )． A．(0，1) B．(0，1)∪(－∞，－1) C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞) 3．若函数 f(x)＝x3－ax2－x＋6 在(0，1)内单调递减，则实数 a 的取值范围是( )． A．[1，＋∞) B．a＝1 C．(－∞，1] D．(0，1) 4．当 x>0 时，f(x)＝x＋2 x 的单调递减区间是 ( )． A．(2，＋∞) B．(0，2) C．( 2，＋∞) D．(0， 2) 5．已知函数 y＝f(x)的导函数 f′(x)＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则 y＝f(x)的图象可能是 ( )． 6．函数 y＝ln(x2－x－2)的递减区间为________． 7．若三次函数 f(x)＝ax3＋x 在区间(－∞，＋∞)内是增函数，则 a 的取值范围是________． 8．命题甲：对任意 x∈(a，b)，有 f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则 甲是乙的________条件． 9.函数 f(x)的导数 y＝f′(x)的图象如图所示，则函数 f(x)的 单调递增区间是________． 10．已知 x>1，证明：x>ln(1＋x)． 11．已知函数 f(x)＝x3＋ax＋8 的单调递减区间为(－5，5)，求函数 y＝f(x)的递增区间． 12．求下列函数的单调区间： (1)y＝x＋9 x ； (2)y＝ln(2x＋3)＋x2. 1．在下列结论中，正确的有 ( )． ①单调增函数的导数也是单调增函数； ②单调减函数的导数也是单调减函数； ③单调函数的导数也是单调函数； ④导函数是单调的，则原函数也是单调的． A．0 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解析 分别举反例：①y＝ln x；②y＝1 x (x>0)； ③y＝2x；④y＝x2，故选 A. 答案 A 2．函数 y＝1 2 x2－ln x 的单调减区间是 ( )． A．(0，1) B．(0，1)∪(－∞，－1) C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞) 解析 ∵y＝1 2 x2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，∴y′＝x－1 x ，令 y′<0，即 x－1 x <0，解 得：00，∴00. 答案 (0，＋∞) 6．已知 x>1，证明：x>ln(1＋x)． 证明 设 f(x)＝x－ln(1＋x)(x>1)， f′(x)＝1－ 1 1＋x ＝ x 1＋x ，由 x>1，知 f′(x)>0. ∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 又 f(1)＝1－ln 2>0， 即 f(1)>0.∵x>1，∴f(x)>0，即 x>ln(1＋x)． 综合提高 （限时 25 分钟） 7．当 x>0 时，f(x)＝x＋2 x 的单调递减区间是 ( )． A．(2，＋∞) B．(0，2) C．( 2，＋∞) D．(0， 2) 解析 f′(x)＝1－2 x2＝x2－2 x2 ＝（x－ 2）（x＋ 2） x2 . 由 f′(x)<0 且 x>0 得 00 时，由导函数 f′(x)＝ax2＋bx＋c 的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值 是大于 0 的，则在此区间内函数 f(x)单调递增．只有 D 选项满足题意． 答案 D 9．命题甲：对任意 x∈(a，b)，有 f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则 甲是乙的________条件． 解析 f(x)＝x3 在(－1，1)内是单调递增的，但 f′(x)＝3x2≥0(－10，则 3x2－75>0，解得 x>5 或 x<－5，∴函数 y＝f(x)的单调递增区间为(－ ∞，－5)和(5，＋∞)． 12．(创新拓展)求下列函数的单调区间： (1)y＝x＋9 x ； (2)y＝ln(2x＋3)＋x2. 解 (1)函数 y＝x＋9 x 的定义域为{x|x∈R，且 x≠0}． ∵y＝x＋9 x ，∴y′＝1－9 x2. 当 y′＞0，即 x＞3 或 x＜－3 时，函数 y＝x＋9 x 单调递增； 当 y′＜0，即－3＜x＜0 或 0＜x＜3 时， 函数 y＝x＋9 x 单调递减． 故函数 y＝x＋9 x 的单调递增区间为(－∞，－3)，(3，＋∞)，单调递减区间为(－3，0)， (0，3)． (2)函数 y＝ln(2x＋3)＋x2 的定义域为 －3 2 ，＋∞ . ∵y＝ln(2x＋3)＋x2， ∴y′＝ 2 2x＋3 ＋2x＝4x2＋6x＋2 2x＋3 ＝2（2x＋1）（x＋1） 2x＋3 . 当 y′＞0，即－3 2 ＜x＜－1 或 x＞－1 2 时， 函数 y＝ln(2x＋3)＋x2 单调递增； 当 y′＜0，即－1＜x＜－1 2 时， 函数 y＝ln(2x＋3)＋x2 单调递减． 故函数 y＝ln(2x＋3)＋x2 的单调递增区间为 －3 2 ，－1 ， －1 2 ，＋∞ ，单调递减区间为 －1，－1 2 .