【数学】2020届一轮复习人教B版（文）第六章29数列求和作业 7页

‎【课时训练】数列求和 一、选择题 ‎1．(2018南昌三模)数列1，3，5，7，…，(2n－1)，…的前n项和Sn的值等于(　　)‎ A．n2＋1－　 B．2n2－n＋1－ C．n2＋1－ D．n2－n＋1－ ‎【答案】A ‎【解析】该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，‎ 则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋1－.‎ ‎2．(2018江西八校联考)等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项的和为(　　)‎ A．120　 B．70‎ C．75 D．100‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为＝n＋2，所以数列的前10项和为10×3＋＝75.‎ ‎3．(2018皖西七校联考)在数列{an}中，若an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}的前12项和等于(　　)‎ A．76　 B．78‎ C．80 D．82‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1，得an＋2＋(－1)n＋1·an＋1＝2n＋1，得an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1,5,9及n＝2,6,10，结果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.‎ ‎4．(2018福建泉州五中期末)已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(　　)‎ A．0　 B．100‎ C．－100 D．10 200‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100‎ ‎＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012‎ ‎＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)‎ ‎＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)‎ ‎＝－50×101＋50×103＝100.故选B.‎ ‎5．(2018西安复习检测)设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝(　　)‎ A．153　 B．210‎ C．135 D．120‎ ‎【答案】A ‎【解析】令an＝2n－7≥0，解得n≥，‎ ‎∴从第4项开始大于0.‎ ‎∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋…＋a15＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋(2×15－7)＝9＋＝153.‎ ‎6．(2018江西联考)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于(　　)‎ A．5 B．6‎ C．7 D．16‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1, －5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数列重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7.故选C.‎ 二、填空题 ‎7．(2018福州模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝，若前n项和为10，则项数n为________．‎ ‎ 【答案】120‎ ‎ 【解析】∵an＝＝－，‎ ‎∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.‎ 令－1＝10，得n＝120.‎ ‎8．(2018福州质量检测)在等差数列{an}中，a1＞0，a10·a11＜0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是________．‎ ‎ 【答案】60‎ ‎ 【解析】由a1＞0，a10·a11＜0可知d＜0，a10＞0，a11＜0，‎ ‎∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18‎ ‎＝S10－(S18－S10)＝60.‎ ‎9．(2018大连模拟)若已知数列的前四项是，，，，则数列的前n项和为________．‎ ‎ 【答案】－ ‎ 【解析】由前四项，知数列{an}的通项公式为an＝，‎ 由＝，知 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an ‎＝ ‎＝ ‎＝－.‎ ‎10．(2018江西统一检测)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，∀n∈N* ,2Sn＝a＋an.令bn＝，设{bn}的前n项和为Tn，则在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为________．‎ ‎ 【答案】9‎ ‎ 【解析】∵2Sn＝a＋an，①‎ ‎∴2Sn＋1＝a＋an＋1.②‎ ‎②－①，得2an＋1＝a＋an＋1－a－an，‎ a－a－an＋1－an＝0，(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0.‎ 又∵{an}为正项数列，∴an＋1－an－1＝0，‎ 即an＋1－an＝1.‎ 在2Sn＝a＋an中，令n＝1，可得a1＝1，‎ ‎∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．‎ ‎∴an＝n，‎ ‎∴bn＝ ‎＝ ‎＝＝－.‎ ‎∴Tn＝1－.‎ ‎∴T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为9.‎ 三、解答题 ‎11．(2018重庆模拟)已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5，且{an－1}是等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解】(1)∵{an－1}是等比数列且a1－1＝2，‎ a2－1＝4，＝2，‎ ‎∴an－1＝2·2n－1＝2n.∴an＝2n＋1.‎ ‎(2)bn＝nan＝n·2n＋n，‎ 故Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)．‎ 令T＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，‎ 则2T＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1.‎ 两式相减，得－T＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1‎ ‎＝－n·2n＋1，‎ ‎∴T＝2(1－2n)＋n·2n＋1＝2＋(n－1)·2n＋1.‎ ‎∵1＋2＋3＋…＋n＝，‎ ‎∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋.‎ ‎12．(2018杭州质量检测)若数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在y＝－x的图象上(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若c1＝0，且对任意正整数n，都有cn＋1－cn＝logan.求证：对任意正整数n≥2，总有≤＋＋＋…＋＜.‎ ‎(1) 【解】∵Sn＝－an，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an.∴an＝an－1.‎ 又∵S1＝a1＝－a1，∴a1＝.‎ ‎∴an＝×n－1＝2n＋1.‎ ‎(2)【证明】由cn＋1－cn＝logan＝2n＋1，‎ 得当n≥2时，cn＝c1＋(c2－c1)＋(c3－c2)＋…＋(cn－cn－1)＝0＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2－1＝(n＋1)(n－1)，‎ ＝＝，‎ ‎∴＋＋＋…＋ ‎＝ ‎＝ ‎＝－＜.‎ 又∵＋＋＋…＋≥＝，‎ ‎∴原不等式得证．‎