【数学】2020届一轮复习人教A版 参数方程 课时作业 5页

‎1.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.‎ 解椭圆C的普通方程为x2+=1.‎ 将直线l的参数方程(t为参数)代入x2+=1,得=1,‎ 即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-.‎ 所以AB=|t1-t2|=.‎ ‎2.在平面直角坐标系xOy中,将曲线C1:x2+y2=1上的所有点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐标伸长为原来的2倍后,得到曲线C2;以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程是ρ(2cos θ-sin θ)=6.‎ ‎(1)写出曲线C2的参数方程和直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)在曲线C2上求一点P,使点P到直线l的距离d最大,并求出此最大值.‎ 解(1)由题意知,曲线C2方程为=1,故曲线C2的参数方程为(φ为参数).‎ 直线l的直角坐标方程为2x-y-6=0.‎ ‎(2)设P(cosφ,2sinφ),‎ 则点P到直线l的距离为 d=,‎ 故当sin(60°-φ)=-1时,d取到最大值2,此时取φ=150°,点P坐标是.‎ ‎3.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数,α∈R),在以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρsin.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线C1和曲线C2相交于A,B两点,求|AB|的值.‎ 解 (1)由⇒x2+(y-1)2=1,‎ 由ρsinρsinθ-ρcosθ=⇒y-x=2,‎ 即C2:x-y+2=0.‎ ‎(2)∵直线x-y+2=0与圆x2+(y-1)2=1相交于A,B两点,‎ 又x2+(y-1)2=1的圆心(0,1),半径为1,‎ ‎∴圆心到直线的距离d=,‎ ‎∴|AB|=2.‎ ‎4．[2019·南昌考试]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x，以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C2与曲线C1交于P，Q两点，求|OP|·|OQ|的值．‎ 解析：(1)曲线C1的普通方程为(x－)2＋(y－2)2＝4，‎ 即x2＋y2－2x－4y＋3＝0，‎ 则曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋3＝0.‎ ‎∵直线C2的方程为y＝x，‎ ‎∴直线C2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ ‎(2)设P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，‎ 将θ＝(ρ∈R)代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋3＝0得，ρ2－5ρ＋3＝0，‎ ‎∴ρ1ρ2＝3，∴|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝3.‎ ‎5．[2019·广州测试]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2(1＋2sin2θ)＝a(a＞0)．‎ ‎(1)求l的普通方程和C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若l与C相交于A，B两点，且|AB|＝，求a的值．‎ 解析：(1)由消去t，得l的普通方程为y＝－(x－1)，‎ 即x＋y－＝0.‎ 由ρ2(1＋2sin2θ)＝a(a＞0)，得ρ2＋2ρ2sin2θ＝a(a＞0)，‎ 把ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y代入上式，得x2＋3y2＝a(a＞0)，‎ 所以C的直角坐标方程为x2＋3y2＝a(a＞0)．‎ ‎(2)解法一　把代入x2＋3y2＝a，得5t2－2t＋2－2a＝0，(*)‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 得t1＋t2＝，t1t2＝，‎ 则|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，‎ 又|AB|＝，所以＝，‎ 解得a＝，‎ 此时(*)式的判别式Δ＝4－4×5×＝12＞0，‎ 所以a的值为.‎ 解法二　由消去y，得10x2－18x＋9－a＝0，(*)‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 得x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 则|AB|＝ ‎＝ ‎＝，‎ 又|AB|＝，所以＝，‎ 解得a＝.‎ 此时(*)式的判别式Δ＝182－4×10×＝12＞0，‎ 所以a的值为.‎ ‎6．[2019·郑州测试]在直角坐标系xOy中，直线l 的参数方程为(t为参数，α∈[0，π))．以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sinθ.‎ ‎(1)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围；‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求|AB|的最小值．‎ 解析：(1)将曲线C的极坐标方程ρcos2θ＝4sinθ，化为直角坐标方程，得x2＝4y.‎ ‎∵M(x，y)为曲线C上任意一点，∴x＋y＝x＋x2＝(x＋2)2－1，‎ ‎∴x＋y的取值范围是[－1，＋∞)．‎ ‎(2)将代入x2＝4y，得t2cos2α－4tsinα－4＝0.‎ ‎∴Δ＝16sin2α＋16cos2α＝16>0，‎ 设方程t2cos2α－4tsinα－4＝0的两个根为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝，t1t2＝，‎ ‎∴|AB|＝|t1－t2|＝＝≥4，当且仅当α＝0时，取等号．‎ 故当α＝0时，|AB|取得最小值4.‎ ‎7．[2018·全国卷Ⅲ]在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．‎ ‎(1)求α的取值范围；‎ ‎(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．‎ 解析：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.‎ 当α＝时，l与⊙O交于两点．‎ 当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O 交于两点当且仅当＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.‎ 综上，α的取值范围是.‎ ‎(2)l的参数方程为 .‎ 设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，‎ 则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.‎ 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.‎ 又点P的坐标(x，y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是 .‎