2019年高考数学练习题汇总4_解析几何 6页

‎4.解析几何 ‎1.如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点P(2，－1).‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过点P作两条直线分别交椭圆C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值.‎ 解　(1)由e＝＝，得a∶b∶c＝2∶1∶，‎ 椭圆C的方程为＋＝1.‎ 把P(2，－1)代入，得b2＝2，‎ 所以椭圆C的方程是＋＝1.‎ ‎(2)由已知得PA，PB的斜率存在，且互为相反数.‎ 设直线PA的方程为y＋1＝k(x－2)，其中k≠0.‎ 由消去y，得x2＋4[kx－(2k＋1)]2＝8，‎ 即(1＋4k2)x2－8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－8＝0，‎ 因为该方程的两根为2，xA，‎ 所以2xA＝，‎ 即xA＝，‎ 从而yA＝.‎ 把k换成－k，得xB＝，yB＝.‎ 故kAB＝＝＝－，是定值.‎ ‎2.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，且离心率e＝.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)是否存在定圆E，使得过圆E上的任意一点都可以作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1，l2‎ 与椭圆C都只有一个公共点？若存在，求出圆E的方程；若不存在，请说明理由.‎ 解　(1)由椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为得，a＝c，‎ 又短轴长为2，所以2b＝2，b＝.‎ 又b2＋c2＝a2，得a＝，b＝c＝，‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)假设满足条件的圆E存在，则可设P(x0，x0)是圆E上的任意一点，当过P的直线l的斜率为k时，其方程为y＝k(x－x0)＋y0，代入＋＝1，得＋＝1. ‎ 即(1＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(y0－kx0)2－6＝0. ①‎ 若直线l与椭圆C的公共点只有一个，则①中判别式Δ＝0，‎ 即16k2(y0－kx0)2－8(1＋2k2)[(y0－kx0)2－3]＝0.‎ 整理得关于k的方程(6－x)k2＋2x0y0k－y＋3＝0， ②‎ 要使过圆E上任意一点都可以作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1，l2与椭圆C都只有一个公共点，则方程②必须有两根，且两根之积为－1，‎ 故＝－1，即x＋y＝9，满足②中的判别式Δ>0.‎ 又对于点(，)，(－，)，(，－)，(－，－)，直线l1，l2中有一条的斜率不存在，另一条的斜率为0，显然成立，故满足条件的圆E存在，方程为x2＋y2＝9.‎ ‎3.已知中心在坐标原点的椭圆E的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点M.‎ ‎(1)求椭圆E的标准方程；‎ ‎(2)设点Q(2,0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且＝λ，若λ∈[－2，－1]，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC的长度的最小值.‎ 解　(1)设椭圆E的标准方程为＋＝1(a>b>0)，易知c＝1.‎ 因为椭圆E过定点M，所以＋＝1，‎ 结合c2＝a2－b2可得a＝，b＝1，‎ 所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由题意可设l：x＝ky＋1，由得(k2＋2)y2＋2ky－1＝0，则Δ＝4k2＋4(k2＋2)＝8(k2＋1)>0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为y1,2＝＝，‎ 所以 由①2÷②得＋＋2＝⇒λ＋＋2＝－，‎ 由λ∈[－2，－1]得－≤λ＋＋2≤0⇒－≤≤0，解得0≤k2≤.‎ ＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，＋＝(x1＋x2－4，y1＋y2)，‎ x1＋x2－4＝k(y1＋y2)－2＝－，‎ QC2＝|＋|2＝(x1＋x2－4)2＋(y1＋y2)2＝＋＝16－＋.‎ 令t＝，则t∈，QC2＝8t2－28t＋16＝82－.‎ 所以当t＝时，(QC)min＝2.‎ ‎4.已知A，F分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点、右焦点，点P为椭圆C上一动点，当PF⊥x轴时，AF＝2PF.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)若椭圆C上存在点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形(点P在第一象限)，求直线AP与OQ的斜率之积；‎ ‎(3)记圆O：x2＋y2＝为椭圆C的“关联圆”. 若b＝，过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M，N，直线MN在x轴和y轴上的截距分别为m，n，求证：＋为定值.‎ ‎(1)解　由PF⊥x轴，知xP＝c，代入椭圆C的方程，‎ 得＋＝1，解得yP＝±.‎ 又AF＝2PF，所以a＋c＝，所以a2＋ac＝2b2，‎ 即a2－2c2－ac＝0，所以2e2＋e－1＝0，‎ 由0b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P在椭圆上(异于椭圆C的左、右顶点)，过右焦点F2作∠F1PF2的外角平分线L的垂线F2Q，交L于点Q，且OQ＝2(O为坐标原点)，椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若直线l：x＝my＋4(m∈R)与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′‎ ‎，直线A′B交x轴于点D，求当△ADB的面积最大时，直线l的方程.‎ 解　(1)由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4×ab＝4，得ab＝2.‎ 延长F2Q交直线F1P于点R，因为F2Q为∠F1PF2的外角平分线的垂线，‎ 所以PF2＝PR，Q为F2R的中点，‎ 所以OQ＝＝＝＝a，‎ 所以a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1. ‎ ‎(2)联立消去x，‎ 得(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0， ①‎ 所以Δ＝(24m)2－4×36×(3m2＋4)＝144(m2－4)>0，即m2>4. ‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(x1，－y1)，‎ 解①得y1,2＝，‎ 则y1＋y2＝，y1y2＝，‎ 直线A′B的斜率k＝＝，‎ 所以直线A′B的方程为y＋y1＝(x－x1)，‎ 令y＝0，得xD＝＝＝＋4，‎ 故xD＝1，所以点D到直线l的距离d＝，‎ 所以S△ADB＝AB·d＝d· ‎＝|y1－y2|‎ ‎＝18·.‎ 令t＝(t>0)，则S△ADB＝18·＝≤＝，‎ 当且仅当3t＝，即t2＝＝m2－4，即m2＝>4，m＝±时，△ADB的面积最大，‎ 所以直线l的方程为 ‎3x＋2y－12＝0或3x－2y－12＝0.‎