2019年高考数学练习题汇总小题提速练（七） 7页

小题提速练(七)‎ 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1．已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2＋x－2＝0}，则A∪B＝(　　)‎ A．∅　　　　　　　　　　 B．{－2}‎ C．{0，－1，－2} D．{－2，0，1，2}‎ 解析：选D.由x2＋x－2＝0，解得x＝－2或1，所以B＝{－2，1}，A∪B＝{－2，0，1，2}，故选D.‎ ‎2．设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若(1＋i)z＝2，则|z|＝(　　)‎ A．1 B． C．2 D．2 解析：选B.由(1＋i)z＝2得z＝＝1－i，‎ ‎∴z＝1＋i，|z|＝|z|＝，故选B.‎ ‎3．设a，b表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题正确的是(　　)‎ A．若a⊥α，且a⊥b，则b∥α B．若γ⊥α，且γ⊥β，则α∥β C．若γ∥α，且γ∥β，则α∥β D．若a∥α，且a∥β，则α∥β 解析：选C.若a⊥α，且a⊥b，则b∥α或b⊂α，故A不对；若r⊥α，且r⊥β，则α∥β或α，β相交，故B不对；若a∥α，且a∥β，则α∥β或α，β相交，故D不对；根据平面平行的传递性可知，C对．故选C.‎ ‎4．已知角α满足2cos 2α＝cos≠0，则sin 2α＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：选D.解法一：由2cos 2α＝cos得，‎ ‎2sin＝cos，4sincos＝cos，因为cos≠0，所以sin＝，sin 2α＝－cos＝－1＋2sin2＝－1＋＝－，故选D.‎ 解法二：由2cos 2α＝cos可得，2(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝(cos α－sin α)．因为cos≠0，所以cos α－sin α≠0，所以cos α＋sin α＝，将此式两边平方得1＋sin ‎ 2α＝，所以sin 2α＝－，故选D.‎ ‎5．已知函数f(x)＝x－，若a＝f(log26)，b＝－f，c＝f(30.5)，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c 解析：选A.因为f(x)＝x－，所以f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，‎ 所以b＝－f＝f＝f，且log26＞log2＞2＞30.5，结合函数f(x)的单调性可知a＞b＞c，故选A.‎ ‎6．一个四面体的三视图为三个如图所示的全等的等腰直角三角形，且直角边长都等于1，则该四面体的表面积是(　　)‎ A．2 B． C．3＋ D． 解析：选B.由三视图可知，该几何体是一个底面为直角边长为1的等腰直角三角形，直线顶点处的棱垂直于底面且长为1的三棱锥，即三条棱都等于1且两两垂直相交于一点的三棱锥，所以四个面中有三个为全等的等腰直角三角形，第四个面为边长等于的正三角形，所以该四面体的表面积等于3××1×1＋×()2＝，故选B.‎ ‎7．已知am＝2，an＝3(a＞0，a≠1)，则loga12＝(　　)‎ A. B．2mn C．‎2m＋n D．m＋n 解析：选C.解法一：由am＝2，an＝3，则loga2＝m，loga3＝n，所以loga12＝loga(4×3)＝loga22＋loga3＝2loga2＋loga3＝‎2m＋n.故选C.‎ 解法二：由am＝2，an＝3可知，a2man＝12，即a‎2m＋n＝12，loga12＝logaa‎2m＋n＝‎2m＋n.故选C.‎ ‎8．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1，且f(－1)＝8，则f(1)＝(　　)‎ A．6 B．－6‎ C．8 D．－8‎ 解析：选B.令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，‎ ‎∴g(－1)＝－g(1)，又f(x)＝g(x)＋1，∴f(－1)＝g(－1)＋1，‎ ‎∴g(－1)＝7，∴g(1)＝－7，f(1)＝g(1)＋1＝－7＋1＝－6.故选B.‎ ‎9．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B．[－1，1]‎ C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－2，2)‎ 解析：选C.作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，z＝表示可行域内的点与点(4，－4)连线的斜率，易求得临界位置的斜率为－1，1，由图易知z的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．‎ ‎10．某种最新智能手机市场价为每台6 000元，若一次采购数量x达到某数值，还可享受折扣．如图为某位采购商根据折扣情况设计的算法的程序框图，若输出的y＝513 000元，则该采购商一次采购该智能手机的台数为(　　)‎ A．80 B．85‎ C．90 D．100‎ 解析：选C.依题意可得 y＝ 当6 000x＝513 000时，解得x＝85.5，不合题意，舍去；当6 000×0.95x＝513 000时，解得x＝90；当6 000×0.85x＝513 000时，解得x≈100.6，不合题意，舍去．故该采购商一次采购该智能手机90台．故选C.‎ ‎11．已知三棱锥PABC中，AB＝BC，AB⊥BC，点P在底面△ABC上的射影为AC的中点，若该三棱锥的体积为，那么当该三棱锥的外接球体积最小时，该三棱锥的高为(　　)‎ A．2 B．3 C．2 D．3‎ 解析：选D.设三棱锥PABC外接球的球心为O，△ABC的外接圆圆心为O1，又AB⊥BC，所以O1为AC的中点．连接PO1，∵点P在底面△ABC上的射影为AC的中点，∴PO1⊥平面ABC.‎ ‎∴P，O，O1三点共线．连接OB，O1B，如图．由已知三棱锥PABC的底面△ABC为等腰直角三角形，设AB＝a，三棱锥高PO1＝h，∴三棱锥PABC的体积V＝×a2h＝，即a2＝，设OB＝R，又OB2＝BO＋OO，∴R2＝＋(h－R)2，∴R＝＝＋，由球O的体积V球＝πR3知，当R最小时，其外接球体积最小，由R＝＋＋≥，当且仅当＝＝，即h＝3时取等号，因而三棱锥PABC的高为3时，外接球体积最小，故选D.‎ ‎12．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率之积的范围是(　　)‎ A．(1，＋∞) B．(0，1)‎ C．(0，) D．(，＋∞)‎ 解析：选A.解法一：不妨设椭圆：＋＝1(a1＞b1＞0)，离心率为e1，半焦距为c，满足c2＝a－b；‎ 双曲线：－＝1(a2＞0，b2＞0)，离心率为e2，半焦距为c，满足c2＝a＋b.不妨设P是它们在第一象限的公共点，点F1，F2分别为它们的左、右焦点，则由椭圆与双曲线的定义得：‎ eq blc{(avs4alco1(|PF1|＋|PF2|＝2a1，,|PF1|－|PF2|＝2a2))⇒‎ 在△F1PF2中，由余弦定理可得＝－，整理得‎4c2＝‎3a＋a，即3＋＝4，即3＋＝4，则＝4－3，由得，令t＝，则t＝＝∈，‎ ‎∴·＝·＝－3t2＋4t＝－3＋∈(0，1)，ee∈(1，＋∞)，即e1e2的取值范围为(1，＋∞)．‎ 解法二：不妨设椭圆＋＝1(a1＞b1＞0)，离心率为e1，半焦距为c，满足c2＝a－b；双曲线－＝1(a2＞0，b2＞0)，离心率为e2，半焦距为c，满足c2＝a＋b，不妨设P是它们在第一象限的公共点，点F1，F2分别为它们的左、右焦点，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＞n＞0，在△F1PF2中，由余弦定理可得m2＋n2＋mn＝‎4c2，则由椭圆与双曲线的定义得∴·＝＝＝＝＝‎ ‎1－，令t＝＋2，则t＞3，‎ ‎∴·＝1－＝1－，‎ ‎∵函数f(t)＝1－在(3，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴·∈(0，1)，即e1e2的取值范围为(1，＋∞)．‎ 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)‎ ‎13．设向量a＝(1，‎2m)，b＝(m＋1，1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________．‎ 解析：由题意得，a＋c＝(3，‎3m)，由(a＋c)⊥b得3(m＋1)＋‎3m＝0，所以m＝－，a＝(1，－1)，所以|a|＝.‎ 答案： ‎14．某老师在一个盒子里装有5张分别标有数字1，2，3，4，5‎ 的卡片，现让某孩子从盒子里任取2张卡片，则他取出的2张卡片上的数字之积是偶数的概率为________．‎ 解析：从盒子里任取2张卡片的所有基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个，其中2张卡片上的数字之积是偶数的基本事件有(1，2)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(4，5)，共7个，所以取出的2张卡片上的数字之积是偶数的概率P＝.‎ 答案： ‎15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为π，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于直线x＝－对称，则f(x)＝________________．‎ 解析：解法一：由函数f(x)的最小正周期为π可知ω＝2，将f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)＝sin的图象，‎ 又g(x)＝sin的图象关于直线x＝－对称，所以2×＋＋φ＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝kπ＋，k∈Z.因为0＜φ＜π，所以φ＝，所以f(x)＝sin.‎ 解法二：由函数f(x)的最小正周期为π可知ω＝2，将f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)＝sin的图象，‎ 又g(x)＝sin的图象关于直线x＝－对称，所以g＝g，即sin φ＝sin.因为0＜φ＜π，所以φ＝，f(x)＝sin.‎ 答案：sin ‎16．已知点M(－4，0)，椭圆＋＝1(0＜b＜2)的左焦点为F，过F作直线l(l的斜率存在)交椭圆于A，B两点．若直线MF恰好平分∠AMB，则椭圆的离心率为________．‎ 解析：如图，作点B关于x轴的对称点C，则点C在直线AM上．设l：y＝k(x＋c)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得消去y得(4k2＋b2)x2＋8k2cx＋4k‎2c2－4b2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，由角平分线的性质定理知＝，所以＝(*)，可得2x1x2＋(4＋c)(x1＋x2)＋‎8c＝0，故8b2(c－1)＝0，所以c＝1，故离心率e＝＝.‎ 答案：