2019年高考数学练习题汇总压轴提升练(三) 2页

压轴提升卷(三) ‎ ‎1．(本题满分12分)在平面直角坐标系中，点F1、F2分别为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线C的离心率为2，点在双曲线C上．不在x轴上的动点P与动点Q关于原点O对称，且四边形PF1QF2的周长为4.‎ ‎(1)求动点P的轨迹方程；‎ ‎(2)在动点P的轨迹上有两个不同的点M(x1，y1)、N(x2，y2)，线段MN的中点为G，已知点(x1，x2)在圆x2＋y2＝2上，求|OG|·|MN|的最大值，并判断此时△OMN的形状．‎ 解：(1)设点F1、F2分别为(－c，0)，(c，0)(c＞0)，‎ 由已知＝2，所以c＝‎2a，c2＝‎4a2，b2＝c2－a2＝‎3a2，‎ 又因为点在双曲线C上，所以－＝1，‎ 则b2－a2＝a2b2，即‎3a2－a2＝‎3a4，‎ 解得a2＝，a＝.‎ 所以c＝1.‎ 连接PQ，因为OF1＝OF2，OP＝OQ，所以四边形PF1QF2为平行四边形，‎ 因为四边形PF1QF2的周长为4，‎ 所以|PF2|＋|PF1|＝2＞|F‎1F2|＝2.‎ 所以动点P的轨迹是以点F1、F2分别为左、右焦点，‎ 长轴长为2的椭圆(除去左右顶点)．‎ 可得动点P的轨迹方程为：＋y2＝1(y≠0)‎ ‎(2)因为x＋x＝2，＋y＝1，＋y＝1，‎ 所以y＋y＝1，‎ 所以|OG|·|MN|＝|MN|·|OG|＝‎ ‎＝ ‎＝ ‎≤＝.‎ 等号当且仅当3－2x1x2－2y1y2＝3＋2x1x2＋2y1y2，即x1x2＋y1y2＝0，‎ 所以OM⊥ON，即△OMN为直角三角形 ‎2．(本题满分12分)设函数f(x)＝aln(x＋1)，g(x)＝ex－1，其中a∈R，e＝2.718 …为自然对数的底数．‎ ‎(1)当x≥0时，f(x)≤g(x)恒成立，求a的取值范围；‎ ‎(2)求证：＜＜.(参考数据：ln 1.1≈0.095)‎ 解：(1)令H(x)＝g(x)－f(x)＝ex－1－aln(x＋1)(x≥0)，则H′(x)＝ex－(x≥0)，‎ ‎①若a≤1，则≤1≤ex，H′(x)≥0，H(x)在[0，＋∞)上单调递增，H(x)≥H(0)＝0，‎ 即f(x)≤g(x)在[0，＋∞)上恒成立，所以a≤1满足题意；‎ ‎②若a＞1，则H′(x)＝ex－在[0，＋∞)上单调递增，所以H′(x)≥H′(0)＝1－a，1－a＜0，‎ 又x→＋∞时，H′(x)→＋∞，所以∃x0∈(0，＋∞)使H′(x0)＝0，‎ 则H(x)在[0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，‎ 所以当x∈(0，x0)时，H(x)＜H(0)＝0，即当x∈(0，x0)时，f(x)＞g(x)，不满足题意，舍去；‎ 综合①②，知a的取值范围为(－∞，1]．‎ ‎(2)由(1)知，当a＝1时，ex＞1＋ln(x＋1)对x＞0恒成立，‎ 令x＝，则e＞1＋ln 1.1≈1.095＝，即＞；‎ 由(1)知，当a＞1时，则H(x)在[0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，‎ 则H(x0)＜H(0)＝0，即ex0－1－aln(x0＋1)＜0，又H′(x0)＝0，‎ 即ex0＝，‎ 令a＝e＞1，即x0＝，则e＜≈，‎ 故有＜＜.‎