2019年高考数学练习题汇总压轴小题突破练(1) 9页

压轴小题突破练(1)‎ ‎1．已知M是函数f(x)＝e－2|x－1|＋2sin在x∈[－3，5]上的所有零点之和，则M的值为(　　)‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ 答案　C 解析　因为f(x)＝e－2|x－1|＋2sin＝e－2|x－1|－2cos πx，‎ 所以f(x)＝f(2－x)，‎ 因为f(1)≠0，‎ 所以函数零点有偶数个，两两关于x＝1对称．‎ 当x∈[1,5]时，y＝e－2(x－1)∈(0,1]，且单调递减；‎ y＝2cos πx∈[－2,2]，且在[1,5]上有两个周期，‎ 因此当x∈[1,5]时，y＝e－2(x－1)与y＝2cos πx有4个不同的交点，‎ 从而所有零点之和为4×2＝8，故选C.‎ ‎2．设函数f(x)＝1－，g(x)＝ln(ax2－3x＋1)，若对任意的x1∈[0，＋∞)，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的最大值为(　　)‎ A．2 B. C．4 D. 答案　B 解析　设g(x)＝ln(ax2－3x＋1)的值域为A，‎ 因为f(x)＝1－在[0，＋∞)上的值域为(－∞，0]，所以(－∞，0]⊆A，‎ 所以h(x)＝ax2－3x＋1至少要取遍(0,1]中的每一个数，又h(0)＝1，‎ 所以实数a需要满足a≤0或 解得a≤.所以实数a的最大值为，故选B.‎ ‎3．已知函数f(x)＝x2＋ex(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，e) B. C. D. 答案　A 解析　由已知得，方程f(x)＝g(－x)在x<0时有解，‎ 即ex－ln(－x＋a)＝0在(－∞，0)上有解，‎ 令m(x)＝ex－ln(－x＋a)，x<0，‎ 则m(x)＝ex－ln(－x＋a)在其定义域上是增函数，且x→－∞时，m(x)<0，当a≤0，x→a时，m(x)>0，‎ 故ex－ln(－x＋a)＝0在(－∞，a)上有解，符合要求．‎ 当a>0时，则ex－ln(－x＋a)＝0在(－∞，0)上有解可化为e0－ln a>0，即ln a<1，故00，函数f(x)＝若关于x的方程f(－f(x))＝e－a＋有三个不等的实根，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　当x＜0时， f(x)为增函数，‎ 当x≥0时， f′(x)＝ex－1＋ax－a－1, f′(x)为增函数，‎ 令f′(x)＝0，解得x＝1，‎ 故函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，‎ 最小值为f＝0.‎ 由此画出函数f(x)的图象如图所示．‎ 令t＝－f(x)，因为f(x)≥0，所以t≤0，‎ 则有解得－a＝t－1，‎ 所以t＝－a＋1，所以f(x)＝a－1.‎ 所以方程要有三个不同的实数根，‎ 则需＜a－1＜＋，‎ 解得2＜a＜＋2.‎ ‎5．已知函数f(x)＝x2＋x＋a(x＜0)，g(x)＝ln x(x>0)，其中a∈R.若f(x)的图象在点A(x1，f(x1))处的切线与g(x)的图象在点B(x2，f(x2))处的切线重合，则a的取值范围为(　　)‎ A．(－1＋ln 2，＋∞) B．(－1－ln 2，＋∞)‎ C. D．(ln 2－ln 3，＋∞) ‎ 答案　A 解析　f(x)的图象在点A(x1，f(x1))处的切线方程为 y－＝·(x－x1)，‎ 即y＝x－x＋a.‎ g(x)的图象在点B(x2，g(x2))处的切线方程为 y－ln x2＝·(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1.‎ 两切线重合的充要条件是 由①及x1＜0＜x2知，－1＜x1＜0, ‎ 由①②得a＝x＋ln x2－1＝x＋ln－1‎ ‎＝x＋ln 2－ln(x1＋1)－1, ‎ 设h(t)＝t2＋ln 2－ln(t＋1)－1(－1＜t＜0)，‎ 则h′(t)＝t－＝＜0，‎ 所以h(t)(－1＜t＜0)为减函数，‎ 则h(t)＞h(0)＝－1＋ln 2，‎ 所以a＞－1＋ln 2，‎ 而当t∈(－1,0)且t趋向于－1时，h(t)无限增大，‎ 所以a的取值范围是(－1＋ln 2，＋∞)．‎ ‎6．若方程＝kx－2恰有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(　　)‎ A．(－2，－1)∪(0,4) B.∪ C.∪(1,4) D．(0,1)∪(1,4)‎ 答案　D 解析　方法一　代数求解：方程可化为或或经检验知，当k＝±1或k＝－2时，方程均有一个实根，不满足条件，故k≠±1，且k≠－2，所以要使方程＝kx－2恰有两个不同的实根，只需解得k∈(0,1)∪(1,4)．‎ 方法二　几何求解：求方程＝kx－2恰有两个不同的实根时实数k的取值范围，即求函数y＝的图象与直线y＝kx－2有两个不同的交点时k的取值范围，作出图象如图所示，由图知k∈(0,1)∪(1,4)．‎ ‎7．已知定义在[0,1]上的函数满足：‎ ‎(1)f(0)＝f(1)＝0；‎ ‎(2)对所有x，y∈[0,1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|<|x－y|.‎ 若对所有x，y∈[0,1]，|f(x)－f(y)|时，|f(x)－f(y)|＝|f(x)－f(1)－[f(y)－f(0)]|≤|f(x)－f(1)|＋|f(y)－f(0)|<|x－1|＋|y－0|＝－(x－y)＋<，所以kmin＝.故选B.‎ ‎8．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，a，b，c∈N*，函数f(x)在上有两个零点，则a＋b＋c的最小值为(　　)‎ A．38 B．39‎ C．40 D．41‎ 答案　D 解析　由题意，考虑到f(0)＝c>0，‎ 于是条件等价于 即2b1，从而a>b>2.‎ 这样就得到a>16，进而b>2>8，‎ 于是b≥9，而a>2b≥18，‎ 当b≥13时，有a＋b＋c>>>40.‎ 当9≤b≤12时，≤<2.‎ 于是c＝1，且4b－160，‎ 可解得4c0，可推得b<0且c>0，②‎ <1，可推得b>－2且c＋b＋1>0.③‎ 由②③式可知－25时，|t－a|＋a>5，不合题意．‎ ‎③当45，不合题意．‎ 综上，a的取值范围是.‎ ‎13．已知实数x，y满足3x－y≤ln(x＋2y－3)＋ln(2x－3y＋5)，则x＋y＝________.‎ 答案　 解析　设f(t)＝ln t－t＋1，令f′(t)＝－1＝0，‎ 得t＝1，所以当00，‎ 当t>1时，f′(t)<0，‎ 因此f(t)≤f(1)＝0，即ln t≤t－1，‎ 所以ln(x＋2y－3)≤x＋2y－3－1，‎ ln(2x－3y＋5)≤2x－3y＋5－1，‎ 因此ln(x＋2y－3)＋ln(2x－3y＋5)≤x＋2y－3－1＋2x－3y＋5－1＝3x－y，‎ 因为3x－y≤ln(x＋2y－3)＋ln(2x－3y＋5)，‎ 所以x＋2y－3＝1,2x－3y＋5＝1，‎ 所以x＝，y＝，‎ 所以x＋y＝.‎ ‎14．已知函数f(x)＝ ‎①若f(x)＝a有且只有一个根，则实数a的取值范围是________；‎ ‎②若关于x的方程f(x＋T)＝f(x)有且仅有3个不同的实根，则实数T的取值范围是_____．‎ 答案　①(1，＋∞)　②(－4，－2)∪(2,4)‎ 解析　①作出函数f(x)的图象，f(x)＝a有且只有一个根等价于y＝f(x)的图象与y＝a只有一个交点，故可得a＞1，即a的取值范围是(1，＋∞)；②方程f(x＋T)＝f(x)有且仅有3个不同的实根等价于y＝f(x＋T)的图象与y＝f(x)的图象有3个交点，而y＝f(x＋T)的图象是将y＝f(x)的图象向左或向右平移|T|个单位长度，故可得T的取值范围是(－4，－2)∪(2,4)．‎ ‎15．已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是________．‎ 答案　[－2,2]‎ 解析　作出f(x)的图象如图所示，当y＝的图象经过点(0,2)时，可知a＝±2.当y＝＋a的图象与y＝x＋的图象相切时，由＋a＝x＋，得x2－2ax＋4＝0，由Δ＝0，并结合图象可得a＝2.‎ 要使f(x)≥在R上恒成立，只需f(0)≥|a|，当a≤0时，需满足－a≤2，即－2≤a≤0；当a>0时，需满足a≤2，所以－2≤a≤2.‎ ‎16．当x∈时，不等式|ax2＋bx＋4a|≤2x恒成立，则6a＋b的最大值是________．‎ 答案　6‎ 解析　∵当x∈时，不等式|ax2＋bx＋4a|≤2x恒成立，‎ ‎∴≤2，即≤2，‎ 设f(x)＝ax＋b＋＝a＋b，x＋∈[4,5]，‎ ‎∵|f(x)|≤2，∴ ‎∴6a＋b＝－(4a＋b)＋2(5a＋b)，‎ ‎∴－2＋2×(－2)≤6a＋b＝－(4a＋b)＋2(5a＋b)≤2＋2×2，‎ ‎∴6a＋b的最大值为6.‎ ‎17．设a，b∈R，af(b)，‎ 可得g(x)＝f(a)＝－a－x，‎ 当－x≤a，即x≥－a时，区间[a，b]为增区间，‎ 可得g(x)＝f(b)＝b＋x.‎ 则g(x)＝ 当x≤－b，g(x)≥b－a；‎ 当－≤x<－a时，g(x)≥(b－a)；‎ 当－b(b－a)；‎ 当x≥－a时，g(x)≥b－a，‎ 则g(x)的最小值为(b－a)．‎