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- 2021-04-19 发布
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高考模拟试卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝R，A＝{y|y＝2x＋1}，B＝{x|ln x<0}，则(∁UA)∩B等于( )
A．∅ B．{x|01}，所以∁UA＝{x|x≤1}，又因为B＝{x|00)，则向量a，b的夹角可能是( )
A.π B.π
C.π D.π
答案 B
解析 如图，向量a与x轴正半轴夹角为，若向量b＝(t>0)的起点为原点，则其终点在射线y＝(x－1)tan (x>1)上，故向量a，b的夹角的取值范围为.故选B.
10．已知函数f(x)＝，x∈[0,1]，函数g(x)＝asin x－2a＋2(a＞0)，若存在x1，x2∈[0,1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 当x∈[0,1]时，f(x)＝的值域是[0,1]，
g(x)＝asin x－2a＋2(a＞0)的值域是，
因为存在x1，x2∈[0,1]使得f(x1)＝g(x2)成立，
所以[0,1]∩≠∅，
若[0,1]∩＝∅，则2－2a＞1或2－a＜0，
即a<或a＞，所以a的取值范围是，故选A.
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)
11．已知复数z＝1＋2i，其中i为虚数单位，则＝________，＝________.
答案 1－2i 1
解析 ＝1－2i，＝＝1.
12．设等比数列{an}的首项a1＝1，且4a1,2a2，a3成等差数列，则公比q＝________；数列{an}的前n项和Sn＝__________.
答案 2 2n－1
解析 由4a1,2a2，a3成等差数列得4a2＝4a1＋a3，即4q＝4＋q2，解得q＝2，Sn＝1·＝2n－1.
13．已知圆C的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，则圆C的半径是________；圆C关于直线l：x－y－1＝0对称的圆的方程是______________________________．
答案 5 (x－5)2＋(y－2)2＝25
解析 由圆C的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25得圆心坐标为(3,4)，半径为5，圆心(3,4)关于直线l：x－y－1＝0的对称点的坐标为(5,2)，所以圆C关于直线l：x－y－1＝0对称的圆的方程是(x－5)2＋(y－2)2＝25.
14．已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝________；若函数y＝f(x)－a有一个零点，则a的取值范围是____________．
答案 2
解析 f(－1)＝－1－1＝1，则f(f(－1))＝f(1)＝2，由f(x)＝2x2－ln x得f′(x)＝4x－＝，因此y＝f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，故f(x)极小值＝f ＝＋ln 2，函数y＝f(x)的图象如图所示，当x>0时，f(x)min＝f(x)极小值，所以当a∈时，函数y＝f(x)－a有一个零点．
15．将3个1,11个0排成一列，使得每两个1之间至少隔着两个0，则共有________种不同的排法．
答案 120
解析 符合条件的排列中，3个1将11个0分成四段，设每一段分别有x1，x2，x3，x4个0，则x1≥0，x2≥2，x3≥2，x4≥0且x1＋x2＋x3＋x4＝11，令x2′＝x2－2，x3′＝x3－2，则x1＋x2′＋x3′＋x4＝7.因此原问题等价于求方程x1＋x2′＋x3′＋x4＝7的自然数解的组数，将7个1与3块隔板进行排列，其排列数即对应方程自然数解的组数，所以方程共有C＝120组自然数解，故共有120种不同的排法．
16．设a，b为正实数，则＋的最小值是________．
答案 2－2
解析 令显然x，y>0，则所以＋＝＋＝＋－2≥2－2，当且仅当x＝y，即a＝b时，等号成立．
17．如图，平面ABC⊥α，且平面ABC∩α＝BC，AB＝1，BC＝，∠ABC＝π，平面α内一动点P满足∠PAB＝，则PC的最小值是________．
答案
解析 如图，因为射线AP的轨迹为以AB为轴，母线与轴夹角为的圆锥面，且平面α平行于该圆锥面的一条母线，所以平面α截该圆锥面所得的截线即P点的轨迹为以BC
为对称轴的抛物线．以BC为x轴，抛物线的顶点为原点O建立直角坐标系，则△AOB为底角为的等腰三角形，所以OB＝AB＝，当PB⊥平面ABC时，PB＝AB·tan＝，此时点P的坐标为，因此抛物线的方程为y2＝x，点C的坐标为，所以抛物线上的点到点C的距离的平方为2＋y2＝x2－x＋＝2＋，故PC的最小值是.
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
18．(14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A，B，C的度数成等差数列，b＝.
(1)若3sin C＝4sin A，求c的值；
(2)求a＋c的最大值．
解 (1)由角A，B，C的度数成等差数列，得2B＝A＋C.
又A＋B＋C＝π，所以B＝.
由正弦定理，得3c＝4a，即a＝.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
即13＝2＋c2－2××c×，解得c＝4.
(2)由正弦定理，得＝＝＝＝，
所以a＝sin A，c＝sin C.
所以a＋c＝(sin A＋sin C)＝[sin A＋sin(A＋B)]
＝＝＝2sin.
由0＜A＜，得＜A＋＜.
所以当A＋＝，
即A＝时，(a＋c)max＝2.
19．(15分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，PA＝1，PA⊥平面ABCD，点E是PC的中点，F是AB的中点．
(1)求证：BE∥平面PDF；
(2)求直线BE与平面PAD所成角的正弦值．
(1)证明 取PD的中点为M，连接ME，MF.
∵E是PC的中点，
∴ME是△PCD的中位线，
∴ME∥CD且ME＝CD.
∵F是AB的中点且ABCD是菱形，AB∥CD且AB＝CD，
∴ME∥AB且ME＝AB.
∴ME∥FB且ME＝FB.
∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF.
又BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，
∴BE∥平面PDF.
(2)解 由(1)得BE∥MF，
∴直线BE与平面PAD所成角就是直线MF与平面PAD所成角．
取AD的中点G，连接BD，BG.
∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴△ABD是正三角形，
∴BG⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊥AD，BG⊂平面ABCD，
∴BG⊥平面PAD，
过F作FH∥BG，交AD于H，则FH⊥平面PAD，连接MH，则∠FMH就是MF与平面PAD所成的角．
又F是AB的中点，
∴H是AG的中点．
连接MG，又M是PD的中点，
∴MG∥PA且MG＝PA.
在Rt△MGH中，MG＝PA＝，GH＝AD＝，
∴MH＝.
在正三角形ABD中，BG＝，
∴FH＝BG＝.
在Rt△MHF中，
MF＝＝，
∴sin∠FMH＝＝＝，
∴直线BE与平面PAD所成角的正弦值为.
20．(15分)已知函数f(x)＝5x2＋＋(x>0)，g(x)＝ln x＋4，曲线y＝g(x)在点(1,4)处的切线与曲线y＝f(x)相切．
(1)求实数a的值；
(2)证明：当x>0时，f(x)>g(x)．
(1)解 由g′(x)＝得g′(1)＝1，所以曲线y＝g(x)在点(1,4)处的切线方程为y＝x＋3.
设曲线y＝f(x)与直线y＝x＋3切于点(x0，y0)，
由得
解得
(2)证明 令F(x)＝f(x)－(x＋3)＝5x2＋－x－，
则F′(x)＝10x－－1＝，
令F′(x)>0，解得x>，令F′(x)<0，
解得00时，F(x)≥F＝0，
因此当x>0时，f(x)≥x＋3，当且仅当x＝时等号成立．
令G(x)＝(x＋3)－g(x)＝x－1－ln x，
则G′(x)＝1－＝，
令G′(x)>0，解得x>1，
令G′(x)<0，解得00时，G(x)≥G(1)＝0，
因此当x>0时，x＋3≥g(x)，当且仅当x＝1时等号成立．
因为f(x)≥x＋3，x＋3≥g(x)，且等号成立的条件不同，所以f(x)>g(x)．
21．(15分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，以椭圆的2 个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交于A，B两点，以线段AB为直径的圆截直线x＝1所得的弦的长度为，求直线l的方程．
解 (1)由椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，
得c＝a，b＝a，
由S＝·2c·b＝a2＝2，得a＝，b＝，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)由(1)知，焦点F坐标为(2,0)，
设直线lAB：y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)．
联立方程
得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0，
x1＋x2＝，x1x2＝，
所以x0＝＝，
|AB|＝·|x1－x2|＝·＝.
点M到直线x＝1的距离为d＝|x0－1|＝＝.
由以线段AB为直径的圆截直线x＝1所得的弦的长度为得，2－d2＝2，
所以2－2＝2，
解得k＝±1，
所以直线l的方程为y＝x－2或y＝－x＋2.
22．(15分)设数列{an}满足a1＝，an＋1＝an＋，n∈N*.
(1)求a2，a3；
(2)证明：数列{an}为递增数列；
(3)证明：≤an≤，n∈N*.
(1)解 a2＝a1＋＝＋＝，
a3＝a2＋＝＋2＝.
(2)证明 ①当n＝1时，a1＝>0；
②假设当n＝k时，ak>0，
当n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋>0；
由①②得an>0，n∈N*.
所以an＋1－an＝>0，即an＋1>an，
所以数列为递增数列．
(3)证明 由0，
故an＋1－an＝>，
所以－>≥＝－，
因此－≥1－，故an≥.
所以≤an≤.
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