高考数学专题复习练习：5-3 专项基础训练 7页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：40分钟)‎ ‎1．(2016·安徽皖江名校联考)在△ABC中，已知向量＝(2，2)，||＝2，·＝－4，则△ABC的面积为(　　)‎ A．4　　　　　　　　　　　B．5‎ C．2 D．3‎ ‎【解析】 ∵＝(2，2)，∴||＝＝2.‎ ‎∵·＝||·||cos A＝2×2cos A＝－4，‎ ‎∴cos A＝－，∵0＜A＜π，∴sin A＝，‎ ‎∴S△ABC＝||·||sin A＝2.‎ ‎【答案】 C ‎2．(2017·安徽江淮十校第一次联考)在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，＝2，＝3，则·的值为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎【解析】 由已知得·＝(＋)·＝－2＋·＋·＋2.①‎ 因为△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，所以①式＝－×22＋0＋0＋×22＝－.故选A.‎ ‎【答案】 A ‎3．已知向量a＝(2cos α，2sin α)，b＝(3cos β，3sin β)，若a与b的夹角为60°，则直线xcos α－ysin α＋＝0与圆(x－cos β)2＋(y＋sin β)2＝的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．相交且过圆心 C．相切 D．相离 ‎【解析】 ∵a＝(2cos α，2sin α)，b＝(3cos β，3sin β)，‎ ‎∴|a|＝2，|b|＝3.‎ ‎∴a·b＝6cos αcos β＋6sin αsin β＝6cos(α－β)．‎ 而a·b＝|a||b|cos 60°＝3，‎ ‎∴6cos(α－β)＝3⇒cos(α－β)＝.‎ 则圆心(cos β，－sin β)到直线xcos α－ysin α＋＝0的距离d＝＝＝1＞＝r，∴相离．‎ ‎【答案】 D ‎4．(2016·驻马店质检)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)‎ A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 ‎【解析】 因为(－)·(＋－2)＝0，‎ 即·(＋)＝0，∵－＝，‎ ‎∴(－)·(＋)＝0，即||＝||，‎ 所以△ABC是等腰三角形，故选C.‎ ‎【答案】 C ‎5．(2015·辽阳一模)在△ABC中，如图，若|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则·等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 若|＋|＝|－|，则2＋2＋2·＝2＋2－2·，即有·＝0.E，F为BC边的三等分点，则·＝(＋)·(＋)＝·＝·＝2＋2＋·＝×(1＋4)＋0＝.故选B.‎ ‎【答案】 B ‎6．(2016·合肥联考)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a＋b在a上的投影为________．‎ ‎【解析】 ∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2×＝7，∴|a＋b|＝，cos〈a＋b，a〉＝＝＝.∴a＋b在a上的投影为|a＋b|·cos〈a＋b，a〉＝×＝2.‎ ‎【答案】 2‎ ‎7．(2015·潍坊模拟)如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，〈，〉＝60°，则||＝________．‎ ‎【解析】 因为〈，〉＝60°，所以·＝||·||cos 60°＝1×3×＝，又＝(＋)，所以2＝(＋)2＝(2＋2·＋2)，‎ 所以2＝(1＋3＋9)＝，所以||＝.‎ ‎【答案】 ‎8．在△ABC中，若·＝·＝·，则点O是△ABC的________(填“重心”、“垂心”、“内心”、“外心”)．‎ ‎【解析】 ∵·＝·，‎ ‎∴·(－)＝0，‎ ‎∴·＝0，‎ ‎∴OB⊥CA，即OB为△ABC底边CA上的高所在直线．‎ 同理·＝0，·＝0，故O是△ABC的垂心．‎ ‎【答案】 垂心 ‎9．(2017·上海静安区一模)如图，已知O为坐标原点，向量＝(3cos x，3sin x)，＝(3cos x，sin x)，＝(，0)，x∈.‎ ‎(1)求证：(－)⊥；‎ ‎(2)若△ABC是等腰三角形，求x的值．‎ ‎【解析】 (1)证明 ∵－＝(0，2sin x)，‎ ‎∴(－)·＝0×＋2sin x×0＝0，‎ ‎∴(－)⊥.‎ ‎(2)若△ABC是等腰三角形，则AB＝BC，‎ ‎∴(2sin x)2＝(3cos x－)2＋sin2x，‎ 整理得2cos2x－cos x＝0，‎ 解得cos x＝0，或cos x＝.‎ ‎∵x∈，∴cos x＝，x＝.‎ ‎10．(2015·德州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.‎ ‎(1)求sin A的值；‎ ‎(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．‎ ‎【解析】 (1)由m·n＝－，得 cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，‎ 所以cos A＝－.‎ 因为0＜A＜π，‎ 所以sin A＝＝＝.‎ ‎(2)由正弦定理，得＝，‎ 则sin B＝＝＝，‎ 因为a＞b，所以A＞B，则B＝.‎ 由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，‎ 解得c＝1，‎ 故向量在方向上的投影为 ‎||cos B＝ccos B＝1×＝.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：20分钟)‎ ‎11．(2015·湖南)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2，0)，则|＋＋|的最大值为(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ ‎【解析】 由A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，所以AC为圆直径，故＋＝2＝(－4，0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1，1]，＝(x－2，y)，所以＋＋＝(x－6，y)．故|＋＋|＝，所以x＝－1时有最大值＝7，故选B.‎ ‎【答案】 B ‎12．(2016·山东)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)‎ A．4 B．－4‎ C. D．－ ‎【解析】 方法一 ∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，∴tm·n＋n2＝0.∵4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，∴t|m||n|×＋n2＝0，∴×|n|2t＋n2＝0.∵|n|≠0，∴t＝－4.故选B.‎ 方法二 ∵4|m|＝3|n|，∴设|m|＝3k，|n|＝4k(k＞0)．‎ ‎∵n⊥(tm＋n)＝0，‎ ‎∴tm·n＋n2＝0，∴12k2t×＋16k2＝0，解得t＝－4.故选B.‎ ‎【答案】 B ‎13．(2016·北京)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】 若|a|＝|b|，则(a＋b)·(a－b)＝0，不一定有|a＋b|＝|a－b|，故充分条件不成立；若|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0，不一定有|a|＝|b|，因此必要条件也不成立．故选D.‎ ‎【答案】 D ‎14．(2016·江苏)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________．‎ ‎【解析】 设＝a，＝b，则·＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，·＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，解得|a|2＝，|b|2＝.则·＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝.‎ ‎【答案】 ‎15．(2016·宣城模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若·＝·＝1.‎ ‎(1)判断△ABC的形状；‎ ‎(2)求边长c的值；‎ ‎(3)若|＋|＝2，求△ABC的面积．‎ ‎【解析】 (1)由·＝·＝1，‎ 得bc·cos A＝ac·cos B，由正弦定理，‎ 即sin Bcos A＝sin Acos B，‎ ‎∴sin(A－B)＝0，‎ ‎∴A＝B，即△ABC是等腰三角形．‎ ‎(2)由·＝1，得bc·cos A＝1，‎ 又bc·＝1，则b2＋c2－a2＝2，‎ 又a＝b，∴c2＝2，即c＝.‎ ‎(3)由|＋|＝2，得2＋b2＋2＝8，‎ ‎∴b＝2，又c＝，‎ ‎∴cos A＝，sin A＝，‎ ‎∴S△ABC＝bc·sin A＝×2××＝.‎