2019年高考数学练习题汇总解答题通关练 2 10页

‎2.立体几何 ‎1．如图，已知正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，点M在线段ED上，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝CD＝1.‎ ‎(1)当M为线段ED的中点时，求证：AM∥平面BEC；‎ ‎(2)求直线DE与平面BEC所成角的正弦值．‎ ‎(1)证明　取EC的中点N，连接MN，BN，如图．‎ 在△EDC中，M，N分别为ED，EC的中点，‎ 所以MN∥CD，且MN＝CD.‎ 又AB∥CD，AB＝CD，‎ 所以MN∥AB，且MN＝AB.‎ 由此可知四边形ABNM为平行四边形，所以BN∥AM，‎ 又BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，‎ 所以AM∥平面BEC.‎ ‎(2)解　在正方形ADEF中，ED⊥AD，‎ 因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，‎ 所以ED⊥平面ABCD，而BC⊂平面ABCD，‎ 所以ED⊥BC.‎ 在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝1，CD＝2，‎ 易得BC＝，‎ 连接BD，在△BCD中，BD＝BC＝，CD＝2，‎ 所以BD2＋BC2＝CD2，‎ 所以BC⊥BD，又BD∩ED＝D，BD，ED⊂平面BDE，‎ 所以BC⊥平面BDE，而BC⊂平面BCE，‎ 所以平面BDE⊥平面BCE.‎ 过点D作DH⊥EB，交EB于点H，则DH⊥平面BCE，所以∠DEH为直线DE与平面BEC所成的角．‎ 在Rt△BDE中，BE＝＝，‎ S△BDE＝BD·DE＝BE·DH，‎ 所以DH＝＝＝，‎ 所以sin∠DEH＝＝.‎ 所以直线DE与平面BEC所成角的正弦值为.‎ ‎2．如图，在所有棱长均相等的直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E，F分别是棱AA1，CC1，AB的中点．‎ ‎(1)证明：BE∥平面CDF；‎ ‎(2)求直线EF与平面CDF所成角的正弦值．‎ ‎(1)证明　方法一　连接AE交CD于G，连接GF，如图1.‎ 因为D，E分别是棱AA1，CC1的中点，所以G是AE的中点．‎ 在△ABE中，GF是中位线，所以GF∥BE.‎ 又GF⊂平面CDF，BE⊄平面CDF.‎ 所以BE∥平面CDF.‎ ‎　　‎ ‎　　　　 图1　　　　　　　　　　图2‎ 方法二　连接A1B，A1E，如图2.‎ 在△A1AB中，DF是中位线，所以DF∥A1B.‎ 又A1B⊄平面CDF，DF⊂平面CDF，‎ 所以A1B∥平面CDF.‎ 因为D，E分别是棱AA1，CC1的中点，所以A1D∥CE，且A1D＝CE，所以四边形A1ECD是平行四边形，‎ 故A1E∥CD.‎ 又A1E⊄平面CDF，CD⊂平面CDF，‎ 所以A1E∥平面CDF.‎ 又A1B∩A1E＝A1，所以平面A1BE∥平面CDF，又BE⊂平面A1BE，所以BE∥平面CDF.‎ ‎(2)解　方法一　如图2，连接AB1，因为四边形AA1B1B是正方形，所以A1B⊥AB1.‎ 又DF∥A1B，所以AB1⊥DF.‎ 因为△ABC是正三角形，F是AB的中点，‎ 所以CF⊥AB.‎ 又平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，CF⊂平面ABC，所以CF⊥平面AA1B1B.‎ 而AB1⊂平面AA1B1B，所以CF⊥AB1，又DF∩CF＝F，且DF，CF⊂平面CDF，‎ 所以AB1⊥平面CDF.‎ 取BB1的中点H，连接HF，HE，‎ 则HF∥AB1，HF⊥平面CDF.‎ 所以∠EFH是直线EF与平面CDF所成角的余角．‎ 设直三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为2，则在△EFH中，FH＝，EH＝EF＝2.‎ 所以cos∠EFH＝＝.‎ 故直线EF与平面CDF所成角的正弦值为.‎ 方法二　以点F为坐标原点，BF，CF所在直线分别为x轴，y轴建立如图3所示的空间直角坐标系．‎ 设直三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为2，则F(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,1)，E(0，，1)．‎ 图3‎ 所以＝(0，，0)，＝(－1,0,1)．‎ 设平面CDF的法向量为n＝(x，y，z)，则所以 则n＝(1,0,1)为平面CDF的一个法向量，‎ 又＝(0，，1)．‎ 所以cos〈，n〉＝＝＝.‎ 故直线EF与平面CDF所成角的正弦值为.‎ ‎3．如图，在四面体ABCD中，O是BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，连接AO.‎ ‎(1)求证：AO⊥平面BCD；‎ ‎(2)求直线AB与平面ACD所成角的余弦值．‎ ‎(1)证明　如图，连接OC，因为AB＝AD，O是线段BD的中点，所以AO⊥BD，同理可得CO⊥BD.‎ 又在△ABD中，AB＝AD＝，BD＝2，所以AO＝1，‎ 在△BCD中，CB＝CD＝BD＝2，所以CO＝，又AC＝2，‎ 所以AO2＋OC2＝AC2，所以∠AOC＝90°，即AO⊥OC.‎ 又OC∩BD＝O，OC，BD⊂平面BCD，‎ 所以AO⊥平面BCD.‎ ‎(2)解　方法一　如图，过点B作BM⊥平面ACD于点M，连接AM，则∠BAM为直线AB与平面ACD所成的角，‎ 由VA－BCD＝VB－ACD，可得×AO×S△BCD＝×BM×S△ACD，‎ 因为AO＝1，S△BCD＝×2×＝，‎ S△ACD＝××＝，‎ 所以BM＝.‎ 在Rt△AMB中，AM＝＝.‎ 所以cos∠BAM＝＝.‎ 所以直线AB与平面ACD所成角的余弦值为.‎ 方法二　以O为坐标原点，OB，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，，0)，A(0,0,1)．‎ 所以＝(－1,0，－1)，＝(0，，－1)，‎ 设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则 所以 令y＝1，得n＝(－，1，)是平面ACD的一个法向量．‎ 又＝(1,0，－1)，‎ 所以cos〈n，〉＝＝－，‎ 故直线AB与平面ACD所成角的余弦值为＝.‎ ‎4．在如图所示的直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点．‎ ‎(1)求证：DE∥平面ACC1A1；‎ ‎(2)若AB⊥BC，AB＝BC，∠ACB1＝60°，求直线BC与平面AB1C所成角的正切值．‎ ‎(1)证明　取AB中点F，连接DF，EF.‎ 在△ABC中，因为D，F分别为BC，AB的中点，‎ 所以DF∥AC，又DF⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，所以DF∥平面ACC1A1.‎ 在矩形ABB1A1中，因为E，F分别为A1B1，AB的中点，‎ 所以EF∥AA1，又EF⊄平面ACC1A1，‎ AA1⊂平面ACC1A1，所以EF∥平面ACC1A1.‎ 因为DF∩EF＝F，所以平面DEF∥平面ACC1A1.‎ 因为DE⊂平面DEF，故DE∥平面ACC1A1.‎ ‎(2)解　因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，‎ 所以BC⊥BB1，‎ 又AB⊥BC，AB∩BB1＝B，所以BC⊥平面ABB1A1.‎ 因为AB＝BC，BB1＝BB1，‎ 所以△ABB1≌△CBB1，AB1＝CB1，‎ 又∠ACB1＝60°，所以△AB1C为正三角形，‎ 所以AB1＝＝AC＝AB，所以BB1＝AB.‎ 取AB1的中点O，连接BO，CO，‎ 所以AB1⊥BO，AB1⊥CO，‎ 所以AB1⊥平面BCO，‎ 所以平面AB1C⊥平面BCO，点B在平面AB1C上的射影在CO上，‎ 所以∠BCO即为直线BC与平面AB1C所成的角．‎ 在Rt△BCO中，BO＝AB＝BC，‎ 所以tan∠BCO＝＝.‎ ‎5．如图，在三棱锥D－ABC中，DA＝DB＝DC，点D在底面ABC上的射影为点E，AB⊥BC，DF⊥AB于点F.‎ ‎(1)求证：平面ABD⊥平面DEF；‎ ‎(2)若AD⊥DC，AC＝4，∠BAC＝60°，求直线BE与平面DAB所成角的正弦值．‎ ‎(1)证明　如图，由题意知DE⊥平面ABC，‎ 所以AB⊥DE，又AB⊥DF，DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF，‎ 所以AB⊥平面DEF，‎ 又AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面DEF.‎ ‎(2)解　方法一　由DA＝DB＝DC知EA＝EB＝EC，‎ 所以E是△ABC的外心．‎ 又AB⊥BC，所以E为AC的中点．‎ 过点E作EH⊥DF于点H，‎ 则由(1)知EH⊥平面DAB，‎ 所以∠EBH即为BE与平面DAB所成的角．‎ 由AC＝4，∠BAC＝60°得BE＝DE＝2，EF＝，‎ 所以DF＝，EH＝，‎ 所以sin∠EBH＝＝.‎ 方法二　如图建立空间直角坐标系，则A(0，－2,0)，D(0,0,2)，B(，－1,0)，‎ 所以＝(0，－2，－2)，＝(，－1，－2)，＝(，－1,0)，‎ 设平面DAB的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 由得 取n＝.‎ 设与n的夹角为θ，‎ 所以cos θ＝＝＝，‎ 所以BE与平面DAB所成角的正弦值为.‎ ‎6．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，AD＝4，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝1，BF＝3，将四边形AEFB沿EF折起，使点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上．‎ ‎(1)求证：CD⊥BE；‎ ‎(2)求线段BH的长度；‎ ‎(3)求直线AF与平面EFCD所成角的正弦值．‎ ‎(1)证明　∵BH⊥平面CDEF，CD⊂平面CDEF，‎ ‎∴BH⊥CD，‎ 又CD⊥DE，BH∩DE＝H，BH，DE⊂平面DBE，‎ ‎∴CD⊥平面DBE，又BE⊂平面DBE，∴CD⊥BE.‎ 方法一 ‎(2)解　设BH＝h，EH＝k，过F作FG垂直ED于点G，连接FH，BE.‎ ‎∵线段BE，BF在翻折过程中长度不变，根据勾股定理得 即解得 ‎∴线段BH的长度为2.‎ ‎(3)解　延长BA交EF于点M，‎ ‎∵AE∶BF＝MA∶MB＝1∶3，‎ ‎∴点A到平面EFCD的距离为点B到平面EFCD距离的，‎ ‎∴点A到平面EFCD的距离为，而AF＝，‎ 设AF与平面EFCD所成角为θ，‎ ‎∴直线AF与平面EFCD所成角的正弦值为sin θ＝＝.‎ 方法二 ‎(2)解　如图，过点E作ER∥DC，过点E作ES⊥平面EFCD，分别以ER，ED，ES为x，y，z轴建立空间直角坐标系，‎ 设点B(0，y，z)(y＞0，z＞0)，‎ 由于F(2,2,0)，BE＝，BF＝3，‎ ‎∴解得于是B(0,1,2)，‎ ‎∴线段BH的长度为2.‎ ‎(3)解　从而＝(－2，－1,2)，‎ 故＝＝，‎ ＝＋＝，‎ 设平面EFCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，直线AF与平面EFCD所成角的大小为θ，‎ 则sin θ＝＝.‎