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- 2021-04-13 发布
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10＋7满分练(3)
1．已知集合A＝{x|log2x≤1}，集合B＝{y|y＝2x＋1}，则A∩B等于( )
A．[1,2] B．(1,2]
C. D.
答案 B
解析 由题意得A＝{x|log2x≤1}＝{x|00，b>0)的左焦点为F1，左、右顶点分别为A，B，M在双曲线上且在x轴的上方，MF1⊥x轴，直线MA，MB与y轴分别交于P，Q两点，若|OP|＝e|OQ|(e为双曲线的离心率)，则e＝________.
答案 ＋1
解析 由已知得，A(－a,0)，B(a,0)，F1(－c,0)，M .
由△BOQ∽△BF1M可得，＝，
即＝，解得|OQ|＝.
由△AOP∽△AF1M可得，＝，
即＝，解得|OP|＝.
由已知得|OP|＝e|OQ|，可得＝e×，
所以a＋c＝e(c－a)，即1＋e＝e(e－1)，
整理得e2－2e－1＝0，又e>1，所以e＝＋1.
16．已知a2＋b2＝10，若1≤a≤3，则a＋b的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝____.
答案 2－2
解析 由a2＋b2＝10≥2ab，即当且仅当a＝b时，ab取得最大值5，又因为(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤20，故a＋b≤2，所以当且仅当a＝b时，M＝2；如图，a2＋b2＝10(1≤a≤3)可视为在a＝1与a＝3两直线间的圆弧．令a＋b＝z，即b＝－a＋z，显然当直线b＝－a＋z过点(1，－3)时，a＋b取得最小值m＝－2，故M＋m＝2－2.
17．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈Z)．若方程f(x)＝x在(0,1)上有两个实数根，f(－1)>－1，则a的最小值为________．
答案 4
解析 方法一 设g(x)＝f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋c，
由g(x)＝0在(0,1)上有两个实数根且g(－1)>0知，
所以又a，b，c∈Z，
故所以(*)
所以a≥2，c≥1，结合(*)对a＝2,3,4，…逐个验证知：
当a＝4，b＝－3，c＝1时符合题意，故a的最小值为4.
方法二 设g(x)＝f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋c，g(x)＝0在(0,1)上有两个实数根，设为x1，x2，
于是g(x)＝a(x－x1)(x－x2)，
由题意知故
所以g(0)g(1)＝a2x1(1－x1)x2(1－x2)≤(当且仅当x1＝x2＝时等号成立)，所以1≤g(0)g(1)≤，所以a≥4，经检验，当a＝4，b＝－3，c＝1时符合题意，故a的最小值为4.
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