2020届高考文科数学二轮专题复习课件：专题3 数列2-3-解答题 2 37页

第 2 课时　 数列的综合应用 考向一　等差数列与等比数列的综合问题 【例 1 】 (2019 · 塘沽一模 ) 已知 {a n } 的各项均为正数的 等比数列 ,{b n } 是等差数列 , 且 a 1 =b 1 =1,b 2 +b 3 =2a 3 ,a 5 -3b 2 =7 ① . (1) 求 {a n } 和 {b n } 的通项公式 . (2) 设 c n =a n b n , , 求数列 {c n } 的前 n 项和 . 【题眼直击 】 题眼 思维导引 ① 先求出数列 {a n } 的公比为 q 和数列 {b n } 的公差为 d. ② 利用错位相减法求数列 {c n } 的前 n 项和 . 　 【解析 】 (1) 设数列 {a n } 的公比为 q, 数列 {b n } 的公差 为 d, 由题意 q>0, 由已知有 消去 d, 整理得 q 4 -2q 2 -8=0. 又因为 q>0, 解得 q=2, 所以 d=2. 所以数列 {a n } 的通项公式为 a n =2 n-1 , 所以 n∈N * ; 数列 {b n } 的通项公式为 b n =2n-1,n∈N * . (2) 由 (1) 有 c n =(2n-1)·2 n-1 , 设 {c n } 的前 n 项和为 S n , 则 S n =1×2 0 +3×2 1 +5×2 2 +…+(2n-3)×2 n-2 +(2n-1)× 2 n-1 , 2S n =1×2 1 +3×2 2 +5×2 3 +…+(2n-3)×2 n-1 +(2n-1)×2 n , 上述两式相减 , 得 -S n =1+2 2 +2 3 +…+2 n -(2n-1)×2 n =2 n+1 - 3-(2n-1)×2 n =-(2n-3)×2 n -3, 所以 ,S n =(2n-3)·2 n +3, n∈N * . 【拓展提升 】 解决等差数列与等比数列的综合问题的关键 关键是理清两个数列的关系 . (1) 如果同一数列中部分项成等差数列 , 部分项成等比数列 , 要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究 . (2) 如果两个数列通过运算综合在一起 , 要从分析运算入手 , 把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征 , 再进行求解 . 【变式训练 】 已知等差数列 {a n } 满足 :a 1 =2, 且 a 1 ,a 2 ,a 5 成等比数列 . (1) 求数列 {a n } 的通项公式 . (2) 记 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和 , 是否存在正整数 n, 使得 S n >60n+800? 若存在 , 求 n 的最小值 ; 若不存在 , 说明理由 . 【解析 】 (1) 设数列 {a n } 的公差为 d, 依题意 ,2,2+d,2+4d 成等比数列 , 故有 (2+d) 2 =2(2+4d), 化简得 d 2 -4d=0, 解得 d=0 或 d=4. 当 d=0 时 ,a n =2. 当 d=4 时 ,a n =2+(n-1)·4=4n-2, 从而得数列 {a n } 的通项公式为 a n =2 或 a n =4n-2. (2) 当 a n =2 时 ,S n =2n. 显然 2n<60n+800, 此时不存在正整数 n, 使得 S n >60n+800 成立 . 当 a n =4n-2 时 ,S n = =2n 2 . 令 2n 2 >60n+800, 即 n 2 -30n-400>0, 解得 n>40 或 n<-10( 舍去 ), 此时存在正整数 n, 使得 S n >60n+800 成立 ,n 的最小值为 41. 综上 , 当 a n =2 时 , 不存在满足题意的 n; 当 a n =4n-2 时 , 存在满足题意的 n,n 的最小值为 41. 考向二　数列与函数的综合 【例 2 】 (2019 · 武汉一模 ) 设 n∈N * ,x n 是曲线 y=x 2n+2 +1 在点 (1,2) 处的切线 ① 与 x 轴交点的横坐标 . (1) 求数列 {x n } 的通项公式 . (2) 记 T n = , 证明 : 【题眼直击 】 题眼 思维导引 ① 想到导数的几何意义 ② 适当放缩进行求解 　 【解析 】 (1) 由题意 ,y′=(2n+2)x 2n+1 , 曲线在点 (1,2) 处的切线斜率为 2n+2. 所以切线方程为 y-2=(2n+2)(x-1). 当 y=0 时 ,x n = , 所以数列 {x n } 的通项公式为 x n = . (2) 由题设和 (1) 中的计算结果知 , T n = 当 n=1 时 ,T 1 = . 当 n≥2 时 , 因为 综上可得 , 对任意的 n∈N * , 均有 T n ≥ . 【拓展提升 】 解决数列与函数综合问题的注意点 (1) 数列是一类特殊的函数 , 其定义域是正整数集 , 而不是某个区间上的连续实数 , 所以它的图象是一群孤立的点 . (2) 转化以函数为背景的条件时 , 应注意题中的限制条件 , 如函数的定义域 , 这往往是非常容易忽视的问题 . (3) 利用函数的方法研究数列中相关问题时 , 应准确构造函数 , 注意数列中相关限制条件的转化 . 【变式训练 】 设等差数列 {a n } 的公差为 d, 点 (a n ,b n ) 在函数 f(x )=2 x 的图象上 (n∈N * ). (1) 若 a 1 =-2, 点 (a 8 ,4b 7 ) 在函数 f(x ) 的图象上 , 求数列 {a n } 的前 n 项和 S n . (2) 若 a 1 =1, 函数 f(x ) 的图象在点 (a 2 ,b 2 ) 处的切线在 x 轴 上的截距为 2- , 求数列 的前 n 项和 T n . 【解析 】 (1) 由已知 , 得 b 7 = ,b 8 = =4b 7 , 有 . 解得 d=a 8 -a 7 =2. 所以 S n =na 1 + d=-2n+n(n-1)=n 2 -3n. (2)f′(x)=2 x ln 2,f′(a 2 )= ln 2, 故函数 f(x)=2 x 在 (a 2 ,b 2 ) 处的切线方程为 y- = ·ln 2·(x-a 2 ), 它在 x 轴上的截距为 a 2 - . 由题意 , 得 a 2 - =2- , 解得 a 2 =2. 所以 d=a 2 -a 1 =1. 从而 a n =n,b n =2 n . 所以 T n = , 2T n = 因此 ,2T n -T n = 所以 T n = . 考向三　数列与不等式的综合问题 【例 3 】 (2019 · 南昌一模 ) 已知数列 {a n } 满足 a 1 = 且 a n+1 =a n - (n∈N * ) ① . (1) 证明 : 1< ≤2(n∈N * ) ② . (2) 设数列 { } 的前 n 项和为 S n , 证明 : (n∈N * ) ③ . 【题眼直击 】 题眼 思维导引 ① 想到求出 a n 的取值范围 . ② 转化为函数的值域问题求解 . ③ 先对每一项进行放缩再裂项相消整理求和 . 【解析 】 (1) 由题意得 a n+1 -a n =- ≤0, 即 a n+1 ≤a n , 故 a n ≤ . 由 a n =(1-a n-1 )a n-1 (n≥2) 得 a n =(1-a n-1 )(1-a n-2 )…(1-a 1 )a 1 >0. 由 0