高考数学专题复习课件：8-7立体几何中的向量方法 63页

§8.7 　立体几何中的向量方法 ( 一 )—— 证明平行与垂直 [ 考纲要求 ] 　 1. 理解直线的方向向量与平面的法向量 .2. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系 .3. 能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理 ( 包括三垂线定理 ) ． 1 ．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1) 直线的方向向量：在直线上任取一 ______ 向量作为它的方向向量． 非零 2 ．用向量证明空间中的平行关系 (1) 设直线 l 1 和 l 2 的方向向量分别为 v 1 和 v 2 ，则 l 1 ∥ l 2 ( 或 l 1 与 l 2 重合 ) ⇔______________ ． (2) 设直线 l 的方向向量为 v ，与平面 α 共面的两个不共线向量 v 1 和 v 2 ，则 l ∥ α 或 l ⊂ α ⇔____________________________________________ ． (3) 设直线 l 的方向向量为 v ，平面 α 的法向量为 u ，则 l ∥ α 或 l ⊂ α ⇔_________ ． (4) 设平面 α 和 β 的法向量分别为 u 1 ， u 2 ，则 α ∥ β ⇔__________ ． v 1 ∥ v 2 存在两个实数 x ， y ，使 v ＝ x v 1 ＋ y v 2 v ⊥ u u 1 ∥ u 2 3 ．用向量证明空间中的垂直关系 (1) 设直线 l 1 和 l 2 的方向向量分别为 v 1 和 v 2 ，则 l 1 ⊥ l 2 ⇔_______________________ ． (2) 设直线 l 的方向向量为 v ，平面 α 的法向量为 u ，则 l ⊥ α ⇔____________ ． (3) 设平面 α 和 β 的法向量分别为 u 1 和 u 2 ，则 α ⊥ β ⇔____________⇔__________________ ． v 1 ⊥ v 2 ⇔ v 1 · v 2 ＝ 0 v ∥ u u 1 ⊥ u 2 u 1 · u 2 ＝ 0 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 直线的方向向量是唯一确定的． ( 　　 ) (2) 平面的单位法向量是唯一确定的． ( 　　 ) (3) 若两平面的法向量平行，则两平面平行． ( 　　 ) (4) 若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行． ( 　　 ) (5) 若 a ∥ b ，则 a 所在直线与 b 所在直线平行． ( 　　 ) (6) 若空间向量 a 平行于平面 α ，则 a 所在直线与平面 α 平行． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) √ 　 (5) × 　 (6) × 1 ．平面 α 的法向量为 (1 ， 2 ，－ 2) ，平面 β 的法向量为 ( － 2 ，－ 4 ， k ) ，若 α ∥ β ，则 k 等于 ( 　　 ) A ． 2 　　　　　　　　　　 B ．－ 4 C ． 4 D ．－ 2 【 答案 】 C 【 答案 】 C 3 ．已知直线 l 的方向向量为 v ＝ (1 ， 2 ， 3) ，平面 α 的法向量为 u ＝ (5 ， 2 ，－ 3) ，则 l 与 α 的位置关系是 ________ ． 【 解析 】 ∵ v · u ＝ 0 ， ∴ v ⊥ u ， ∴ l ∥ α 或 l ⊂ α . 【 答案 】 l ∥ α 或 l ⊂ α 4 ． ( 教材改编 ) 设 u ， v 分别是平面 α ， β 的法向量， u ＝ ( － 2 ， 2 ， 5) ，当 v ＝ (3 ，－ 2 ， 2) 时， α 与 β 的位置关系为 ________ ；当 v ＝ (4 ，－ 4 ，－ 10) 时， α 与 β 的位置关系为 ________ ． 【 解析 】 当 v ＝ (3 ，－ 2 ， 2) 时， u · v ＝ ( － 2 ， 2 ， 5)·(3 ，－ 2 ， 2) ＝ 0 ⇒ α ⊥ β . 当 v ＝ (4 ，－ 4 ，－ 10) 时， v ＝－ 2 u ⇒ α ∥ β . 【 答案 】 α ⊥ β 　 α ∥ β 5 ． ( 教材改编 ) 如图所示，在正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中， O 是底面正方形 ABCD 的中心， M 是 D 1 D 的中点， N 是 A 1 B 1 的中点，则直线 ON ， AM 的位置关系是 ________ ． 【 答案 】 垂直 题型一　利用空间向量证明平行问题 【 例 1 】 如图所示，平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ， ABCD 为正方形， △ PAD 是直角三角形，且 PA ＝ AD ＝ 2 ， E ， F ， G 分别是线段 PA ， PD ， CD 的中点．求证： PB ∥ 平面 EFG . 【 证明 】 ∵ 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，且 ABCD 为正方形， ∴ AB ， AP ， AD 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ，则 A (0 ， 0 ， 0) ， B (2 ， 0 ， 0) ， C (2 ， 2 ， 0) ， D (0 ， 2 ， 0) ， P (0 ， 0 ， 2) ， E (0 ， 0 ， 1) ， F (0 ， 1 ， 1) ， G (1 ， 2 ， 0) ． 【 引申探究 】 本例中条件不变，证明平面 EFG ∥ 平面 PBC . 【 证明 】 ∵ ＝ (0 ， 1 ， 0) ，＝ (0 ， 2 ， 0) ， ∴ ＝ 2 ， ∴ BC ∥ EF . 又 ∵ EF ⊄ 平面 PBC ， BC ⊂ 平面 PBC ， ∴ EF ∥ 平面 PBC ， 同理可证 GF ∥ PC ，从而得出 GF ∥ 平面 PBC . 又 EF ∩ GF ＝ F ， EF ⊂ 平面 EFG ， FG ⊂ 平面 EFG ， ∴ 平面 EFG ∥ 平面 PBC . 【 方法规律 】 (1) 恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键． (2) 证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算． 【 证明 】 方法一 如图，取 BD 的中点 O ，以 O 为原点， OD ， OP 所在射线分别为 y ， z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O xyz . 求证： (1) A 1 B 1 ⊥ 平面 AA 1 C ； (2) AB 1 ∥ 平面 A 1 C 1 C . (1) 证明： AP ⊥ BC ； (2) 若点 M 是线段 AP 上一点，且 AM ＝ 3. 试证明平面 AMC ⊥ 平面 BMC . 【 证明 】 (1) 如图所示，以 O 为坐标原点，以射线 OP 为 z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 O xyz . 【 方法规律 】 证明垂直问题的方法 (1) 利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键． (2) 其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面法向量平行；其三证明面面垂直： ① 证明两平面的法向量互相垂直； ② 利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可． 跟踪训练 2 (1) 如图所示，已知直三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 中， △ ABC 为等腰直角三角形， ∠ BAC ＝ 90 ° ，且 AB ＝ AA 1 ， D ， E ， F 分别为 B 1 A ， C 1 C ， BC 的中点．求证： ① DE ∥ 平面 ABC ； ② B 1 F ⊥ 平面 AEF . 【 证明 】 ① 如图建立空间直角坐标系 A xyz ， 令 AB ＝ AA 1 ＝ 4 ， 则 A (0 ， 0 ， 0) ， E (0 ， 4 ， 2) ， F (2 ， 2 ， 0) ， B (4 ， 0 ， 0) ， B 1 (4 ， 0 ， 4) ． ① 求证： CM ∥ 平面 PAD ； ② 求证：平面 PAB ⊥ 平面 PAD . 【 证明 】 ① 以 C 为坐标原点，分别以 CB 所在直线为 x 轴， CD 所在直线为 y 轴， CP 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz ， 【 方法规律 】 对于 “ 是否存在 ” 型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到 “ 存在点 ” ，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定 “ 不存在 ” ． 跟踪训练 3 在四棱锥 P ABCD 中， PD ⊥ 底面 ABCD ，底面 ABCD 为正方形， PD ＝ DC ， E ， F 分别是 AB ， PB 的中点． (1) 求证： EF ⊥ CD ； (2) 在平面 PAD 内求一点 G ，使 GF ⊥ 平面 PCB ，并证明你的结论． 【 解析 】 (1) 证明 如图，分别以 DA ， DC ， DP 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系， 思想与方法系列 17 利用向量法解决立体几何问题 【 典例 】 (12 分 )(2016· 课标全国 Ⅰ ) 如图，在以 A ， B ， C ， D ， E ， F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形， AF ＝ 2 FD ， ∠ AFD ＝ 90 ° ，且二面角 D AF E 与二面角 C BE F 都是 60 ° . (1) 证明：平面 ABEF ⊥ 平面 EFDC ； (2) 求二面角 E BC A 的余弦值． 【 规范解答 】 (1) 证明 由已知可得 AF ⊥ DF ， AF ⊥ FE ，所以 AF ⊥ 平面 EFDC .(2 分 ) 又 AF ⊂ 平面 ABEF ，故平面 ABEF ⊥ 平面 EFDC .(3 分 ) 【 温馨提醒 】 (1) 利用向量法证明立体几何问题，可以建坐标系或利用基底表示向量． (2) 建立空间直角坐标系时，要根据题中条件找出三条互相垂直的直线． (3) 利用向量除了可以证明线线平行、垂直，线面、面面平行、垂直外，还可以利用向量求夹角、距离，从而解决线段长度问题、体积问题等 . ► 方法与技巧 1 ．用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由 “ 形 ” 转 “ 数 ” 的转化思想． 2 ．两种思想： (1) 选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断． (2) 建立空间直角坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题． ► 失误与防范 用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线 a ∥ b ，只需证明向量 a ＝ λb ( λ ∈ R) 即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外 .