【数学】2019届一轮复习人教A版矩阵与变换学案 4页

题型一　矩阵与变换 例1 已知变换S把平面上的点A(3,0)，B(2,1)分别变换为点A′(0,3)，B′(1，－1)，试求变换S对应的 矩阵T.. ‎ ‎ . ‎ 点评　理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键.‎ 巩固1(1)已知→＝，试将它写成坐标变换的形式，并求点A(1,3)在对应的变换作用下得到的点；‎ ‎(2)已知→＝，试将它写成矩阵的乘法形式；若在上述矩阵对应的变换作用下得到点P(7,0)，试求变换前对应的点P′的坐标.‎ 题型二　逆矩阵的求法及应用 例2 已知矩阵M＝所对应的线性变换把点A(x，y)变成点A′(13,5)，试求M的逆矩阵及 点A的坐标.‎ ‎【解析】　依题意得由M＝，得 M ＝1，‎ 故M－1＝.‎ 从而由＝ 学 ‎ 得＝＝＝，‎ 故，∴A(2，－3)为所求.学 ‎ 点评　求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解.在求逆矩阵时 要重视(AB)－1＝B－‎1A－1性质的应用.‎ 变式：（2018江苏）已知矩阵． 学 ‎ ‎（1）求的逆矩阵；‎ ‎（2）若点P在矩阵对应的变换作用下得到点，求点P的坐标．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ 巩固2已知矩阵A＝，‎ ‎(1)求矩阵A的逆矩阵；‎ ‎(2)利用逆矩阵知识解方程组.‎ 题型三　求矩阵的特征值与特征向量 例3 已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1, 2)变换成(－2,4).‎ ‎(1)求矩阵M；‎ ‎(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；‎ ‎(3)求直线l：x－y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程.‎ ‎【解析】　(1)设M＝，‎ 则＝8＝，‎ 故　因＝，‎ 故 联立以上两方程组解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，‎ 故M＝.‎ ‎ ‎ ‎(3)设点(x，y)是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为(x′，y′)，‎ 则＝，‎ 即x＝x′－y′，y＝－x′＋y′，‎ 代入直线l的方程后并化简得x′－y′＋2＝0，‎ 即x－y＋2＝0. 学 ‎ 点评　矩阵的特征值和特征向量在求解形如Mna的矩阵与向量的乘法运算中有重要应用，熟练掌握此知识，用它来解决将可以大大减少运算量.应掌握求解二阶矩阵的特征向量和特征值的基本方法，关于特征值问题的探究一般解法如下：‎ 给定矩阵A＝，向量α＝，若有特征值λ，‎ 则＝λ，即＝，‎ 所以＝0，即λ2－(a＋d)λ＋(ad－bc)＝0.‎ 巩固3已知矩阵A＝，A的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝.‎ ‎(1)求矩阵A；‎ ‎(2)若向量β＝，计算A5β的值.‎ 答案与解析 巩固1【解析】(1)→＝，点A(1,3)在矩阵对应的变换作用下得到点的坐标为(7,2).‎ ‎(2)→＝，‎ 由　得 ‎∴点P′的坐标为(1,2).‎ ‎ . ‎