人教A版选修1-13-2立体几何中的向量方法第3课时（含答案） 6页

§3.2.3 利用向量解决平行与垂直问题 【学情分析】： 教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面又学习了用向量表示 线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系，所以本节课是通过运用这些关系解决立体几何中的平 行与垂直问题。本次课内容不难理解，但学生自己做题时往往会遇到一个如何转化的问题，因此，教学中 应重点抓住转换思想来进行. 【教学目标】： （1）知识与技能：继续理解用向量表示空间中平行与垂直的关系和方法；会用向量法和坐标法等方 法解决立体几何中的平行与垂直问题. （2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。 （3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。 【教学重点】： 向量法与坐标法. 【教学难点】： 立体几何中的平行与垂直问题向向量问题的转化. 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 一、复习引 入 1． 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”. 2． 平行与垂直关系的向量表示。 为学习新知识做准 备. 二、探究新 知 一、用向量处理平行问题 A D C B E F N M 分析：先复习共面向量定理。要解决问题，可以考虑将向量 MN 用 向量 BCBE, 线性表示出来。 例 1 是一道线面平 行问题，需要利用 共面向量定理来证 明。同时介绍解决 问题的向量法。 1: , , . // ABCD ABEF MN BF FM AN MN EBC 例 如图已知四边形 、 为两个正方形 分别在其对角线 上 且 求证： 平面 , , .FB AN AC       存在实数 使FM ( ) ( ) ( ) ( 1) . MN MF FA AN BF EB AC BE BA AB AD EB BE AD EB BE BC BE BE BC                                                 : , , ,BE AB FM AN FB AC   证明 在正方形ABCD与ABEF中, 评注： 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对 x,y 使 p=xa+yb. 利用共面向量定理可以证明线面平行问题。 本题用的就是向量法。 （图略） 分析：面面平行  线面平行  线线平行。 1 1 1 1 1: , , D A D C D D x y z 证明 如图分别以 、 、 三边所在的直线为 轴建立空间 直角坐标系.设正方体的棱长为1, 1 1 1 (1,0,0), (1,1,0), (0,0,1), (0,0,1) ( 1,0,1), ( 1,0,1) A B C D D B C     1 则 则A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 // . // // . // . // . A D B C A D B C A D CB D A B CB D A BD CB D     即直线 ， 则 平面 同理右证： 平面 平面 平面 评注： 由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证明。用 向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空 间直角坐标系，方能减少运算量。 本题选用了坐标法。 思考： 一般应如何建立空间直角坐标系？ 二、用向量处理垂直问题 联系共线向量来理 解。 例 2 是关于面面平 行的问题，联系几 何 定 理 与 向 量 平 行。同时介绍解决 问题的坐标法。 例 3 是线面垂直问 题，图形和例 2 一 . , // MN BE BC M EBC MN EBC        、 、 共面 平面 平面 1 1 1 1 1 1 1 2. - , : // ABCD A B C D A BD CB D 例 在正方形 中 求证 平面 平面 : ' ' ' ' ', ' . ABCD A B C D CC BD A F BDE   例3 在正方体 中. E,F分别是 的中点. 求证： 平面  A B C D O （图略） 分析：线面垂直 线线垂直。 评注： 本题若用一般法证明，容易证 A’F 垂直于 BD，而证 A’F 垂直于 DE， 或证A’F垂直于EF则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。 例 4， 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理） 已知：如图,OB 是平面 的斜线，O 为斜足， AB ，A 为垂足， OACDCD  , 求证： OBCD  证明： 0 OACDOACD  AB 0 ABCDABCD ABOAOB  0)(  ABCDOACDABOACDOBCD ABCD  样是正方体，可进 一步训练坐标法。 让学生体会坐标法 的优势。 用向量法证明三垂 线定理。 三、练习巩 固 分别用向量法和坐标法解决以下问题： 巩固知识，培养技 能. , , ' ' DA DC DD x y z A    证明:如图 取 分别为 轴, 轴, 轴 建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为2. A(2,0,0),B(2,2,0), (2,0,2),E(0,2,1),F(1,1 ,0) ' ( 1,1, 2), (2,2,0), (0,2,1) ' ( 1,1, 2) (2,2,0) 0, ' ( 1,1, 2) (0,2,1) 0 ' , ' , . ' A F DB DE A F DB A F DE A F DB A F DE DB DE D A F BDE                                    又 平面 向量法： .2/1,0,0 ,,' ,1   cbcaba ACcABbAAa设 证明：设底面边长为 bacCCACBABC abBBABAB acACAACA    '' '' '' 2 2 2 2 ( 2 ) ( ) (2 ) ( ) 2 2 1 1 0 c a a b b a a b b a a a b b a b                                    所以，结论成立。 坐标法： 证明：（图略） ).,1,0('),,1,0('),,0,3(' ).0,1,0(),0,1,0(),0,0,3( . ,,2 hChBhA CBA h   系如图建立空间直角坐标 高为设底面边长为 2 2 2 0 ' ' 3 1 , 2. ' ' 0 2 0. ' ' AB A C h h AB BC h BC AB                  A' B' C B C' A 四、小结 利用向量解决平行与垂直问题 1． 向量法：利用向量的概念技巧运算解决问题。 2． 坐标法：利用数及其运算解决问题。 两种方法经常结合起来使用。 反思归纳 ' ' ' ' ' ', ' ' ABC A B C AA ABC A C AB BC AB     练习： 在三棱柱 中， 底面是正三角形， 底面 ， 求证： 2 2 0 ' ' ( ) ( ) 1 2 A C AB c a b a c b c a a b a a c b                                 五、作业 1，直三棱柱 111 CBAABC  中，角 ACB 是直角，AC＝1，CB＝ 2 ，侧 棱 1AA =1，侧面 BBAA 11 的两条对角线交点为 D， 11CB 的中点为 M，求 证 CD 平面 BDM。 2，课本 p111 第 1、3 题。 练习与测试： （基础题） 1，直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，若 ， 则 （ ） A． + － B． － + C．－ + + D．－ + － 答：D 2，若向量 、 （ ） A． B． C． D．以上三种情况都可能 答：B 3，一空间四边形 ABCD 的对边 AB 与 CD，AD 与 BC 都互相垂直，用向量证明：AC 与 BD 也互相垂直． 证明： . 又 ， 即 .……① . 又 ， 即 .……② 由①+②得： 即 . . 4，如图，已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P，PA⊥平面 ABCD，E、F 分别是 AB、PC 的中点． （1）求证：EF∥平面 PAD； （2）求证：EF⊥CD； 证：如图，建立空间直角坐标系 A－xyz，设 AB＝2a， BC＝2b，PA＝2c，则：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)， D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c) ∵ E 为 AB 的中点，F 为 PC 的中点 ∴ E (a, 0, 0)，F (a, b, c) (1)∵ ＝(0, b, c)，＝(0, 0, 2c)，＝(0, 2b, 0) ∴ ＝(＋) ∴ 与、共面 又∵ E Ï 平面 PAD ∴ EF∥平面 PAD． (2) ∵＝(-2a, 0, 0 ) ∴ ·＝(-2a, 0, 0)·(0, b, c)＝0 ∴ CD⊥EF． （较难题） 5，对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面。 分析 要证明 EF、BC、AD 平行于同一平面 D F （E、F 分别为 AB、CD 的中点），只要证明相应 A E C 向量 EF 与 AD、BC 共面即可。 B 证明：如图，利用多边形加法法则可得， EF = EA + AD + DF ， EF = EB + BC + CF …①。 又 E、F 分别是 AB、CD 的中点，故有 EA =- EB ， DF =-CF …② 将②代入①后，两式相加得 2 EF = AD + BC ，∴ EF =1 2 AD +1 2 BC 即 EF 与 BC 、 AD 共面，∴EF 与 AD、BC 平行于同一平面。 注：本题若用立体几何知识去证明，有一定的难度，由此体会向量法证明的优越性。 6，如图，已知 a⊥α,a⊥b,b￠α,求证 b∥α。 证明：在α内作不共线向量 m,n b ∵a、m、n 不共面，∴b=xa+ym+zn。 a 两边同乘 a 得 a·b=x·a·a+y·a·m+z·a·n m ∵a⊥b,a⊥m,a⊥n,∴a·b=0,a·m=0,a·n=0  n 得 x·a·a=0 而 a≠0,∴x=0,即 b=ym+zn ∴b、m、n 为共面向量，又 b￠α,b∥α。 7，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是 A1B 上的点，F 是 AC 上的点，且 A1E=2EB，CF=2AF， 求证：EF∥平面 A1B1CD。 D1 C1 证明： EF = EB + BA + AF …（1） EF = EA 1+ DA1 + DC + CF …（2） A1 B1 （1）×2+（2）并注意到 1EA =-2 EB ， D C CF =-2 AF ， BA =- DC ， F E 得 EF =1 3 DA1 -1 3 DC A B 而 EF￠平面 A1B1CD，∴EF∥平面 A1B1CD。 ∴ EF ， DA1 、 DC 为共面向量。