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- 2021-05-25 发布
课时跟踪检测（二十五） 系统知识——正弦定理、余弦定理及应用举例
1．(2019·邵阳联考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝3，b＝，A＝，则B＝( )
A. B.
C.或 D.
解析：选A 由正弦定理得＝，∴sin B＝，∴B＝或B＝，又b1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
5．(2019·广州调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cos B＝，则△ABC的面积为( )
A．3 B.
C．9 D.
解析：选B 由余弦定理b2＝c2＋a2－2accos B，得7＝16＋a2－6a，解得a＝3，∵cos B＝，∴sin B＝，∴S△ABC＝casin B＝×4×3×＝.故选B.
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2a，b＝4，cos B＝.则c的值为( )
A．4 B．2
C．5 D．6
解析：选A ∵c＝2a，b＝4，cos B＝，∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即16＝c2＋c2－c2＝c2，解得c＝4.
7．(2018·兰州一模)△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝2a，bsin B－asin A＝asin C，则sin B的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由正弦定理，得b2－a2＝ac，又c＝2a，所以b2＝2a2，所以cos B＝＝，所以sin B＝.
8．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为( )
A．10 km B．10 km
C．10 km D．10 km
解析：选D 如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，
∴AC＝10(km)．
9．(2019·豫南豫北联考)线段的黄金分割点的定义：若点C在线段AB上，且满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点，利用上述结论，可以求出cos
36°＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 不妨设AB＝2，利用黄金分割点的定义得AD＝－1，易知∠A＝∠ABD＝36°，故AD＝BD＝－1.在△ABD中，cos 36°＝＝，故选B.
10．(2019·莆田联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a>b，则B＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，∴根据正弦定理可得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，即sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝sin B．∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝，即sin B＝.∵a>b，∴A>B，即B为锐角，∴B＝，故选A.
11．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10 海里 B．10 海里
C．20 海里 D．20 海里
解析：选A 画出示意图如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
根据正弦定理得＝，
解得BC＝10(海里)．
12．(2018·湖南长郡中学模拟)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则＝( )
A．2 B．3
C. D.
解析：选A 由2bsin 2A＝asin B，得4bsin A·cos A＝asin B，由正弦定理得4sin B·sin
A·cos A＝sin A·sin B，∵sin A≠0，且sin B≠0，∴cos A＝，由余弦定理得a2＝b2＋4b2－b2，∴a2＝4b2，∴＝2.故选A.
13．(2019·凌源模拟)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝＋，A＝75°，cos B＝，则b＝________.
解析：在△ABC中，由cos B＝，可得sin B＝，由A＝75°，可得sin A＝，根据正弦定理＝，得＝，解得b＝2.
答案：2
14．(2018·惠州二调)在△ABC中，设角A，B，C的对边分别是a，b，c，且C＝60°，c＝，则＝________.
解析：由正弦定理知＝＝2，所以a＝2sin A，则＝＝＝＝4.
答案：4
15.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．
解析：由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得＝，所以AC＝＝＝
10，所以海轮航行的速度为＝(海里/分)．
答案：
16．(2019·河南实验中学模拟)△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，如果△ABC的面积等于8，a＝5，tan B＝－，那么＝________.
解析：由tan B＝－，得sin B＝，cos B＝－.
由△ABC的面积S＝8，得S＝acsin B＝8，解得c＝4.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝25＋16－2×5×4×＝65，则b＝.
由正弦定理，得＝＝，
则＝＝＝.
答案：
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