浙江省杭州地区（含周边）重点中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析 21页

www.ks5u.com ‎2019学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学 高二年级数学学科试题 一、选择题 ‎1. 设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的交运算，即可求得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 故可得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.‎ ‎2. 若复数，其中i为虚数单位，则 =‎ A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，选B.‎ ‎【考点】复数的运算，复数的概念 ‎【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.‎ ‎3. 设大于0，则3个数的值 A. 至多有一个不大于 1 B. 都大于1‎ C. 至少有一个不大于1 D. 都小于1‎ ‎【答案】C - 21 -‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意，若个数的值均大于，则，显然矛盾，‎ 若个数的值均小于，则，显然矛盾，‎ 个数的值至少有一个不大于，故选C.‎ ‎4. 将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图像平移，解方程即可求得结果.‎ ‎【详解】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，‎ 即可得，‎ 故可得，解得，‎ 又因为，故可得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查由函数图像平移求函数解析式，属基础题.‎ ‎5. 函数的部分图像可能是（ ）‎ A. B. ‎ - 21 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据解析式求得函数奇偶性，结合，即可容易判断.‎ ‎【详解】因为，且其定义域为，‎ 故是偶函数，图像关于轴对称，故排除；‎ 又因为，故排除.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性，特殊角的余弦值，涉及余弦函数的奇偶性的判断，属综合基础题.‎ ‎6. 等差数列的前项和为，，，则满足的最大（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质，求得的最大的，即可求得结果.‎ ‎【详解】因为；又，‎ 故可得，且；‎ 故当时，，即，‎ 故满足题意的的最大值为.‎ 故选：C.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本题考查等差数列前项和性质，涉及等差数列的单调性，属基础题.‎ ‎7. 若直线与曲线（，为自然对数的底数）相切，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出切点，利用导数几何意义，列出方程，即可求得参数.‎ ‎【详解】不妨设切点为，因为，‎ 故可得，，，‎ 解得，故可得，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，属基础题.‎ ‎8. 已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正余弦的和角公式以及辅助角公式，化简恒等式，结合角度范围，即可容易求得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 故可得，‎ 则 - 21 -‎ 即，‎ 又因为，，‎ 故可得，‎ 即 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角恒等式，属中档题.‎ ‎9. 如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（ ）‎ A. 个极大值点，个极小值点 B. 个极大值点，个极小值点 C. 个极大值点，无极小值点 D. 个极小值点，无极大值点 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可知有个零点，结合函数图像，即可判断函数单调性，从而求得函数极值点的个数.‎ ‎【详解】，由下图可知，有3个零点，‎ - 21 -‎ 由图可知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，‎ 在上单调递增.‎ 故为极小值点，为极大值点，‎ 故有个极小值点，1个极大值点.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数极值点的求解，涉及数形结合，以及函数单调性的判断，属综合中档题.‎ ‎10. 设数列满足，对任意的恒成立，则下列说法正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数研究函数的单调性，可得,即可由可得(等号若成立则与题意矛盾),再由,可得,由此即可求得的范围.‎ ‎【详解】构造函数，, 可得, ‎ - 21 -‎ 所以在时单调递增,在时单调递减.‎ 故，即，当且仅当时取等号.‎ 因为，所以，‎ 故，即．‎ 当时，，与题意矛盾，故．‎ 构造函数，，可得，‎ 所以函数在时单调递增，即，故可知．‎ 又因为，所以．‎ 即有.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的单调性的应用，构造函数并利用导数判断函数的单调性，以及放缩法的应用，意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力，属于较难题.‎ 二、填空题 ‎11. 已知，则______，______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数运算，结合指数幂和对数式的转化，即可容易求得两个结果.‎ ‎【详解】因为，故可得；因为，故可得，‎ 则；‎ 则.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查对数的运算，属基础题.‎ - 21 -‎ ‎12. 欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式（为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，在复平面内对应的点位于第______象限，的最大值为______.‎ ‎【答案】 (1). 三 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据公式求得复数，在求得对应点的坐标，即可判断所属象限；利用三角恒等变换化简，结合复数的运算，即可容易求得结果.‎ ‎【详解】，故其对应点的坐标为，属于第三象限；‎ ‎，‎ 当且仅当时取得等号.‎ 故答案为：三；.‎ ‎【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及利用同角三角函数化简，三角函数的值域，属综合中档题.‎ ‎13. 已知，则______，______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先用诱导公式化简，再分子分母同除以，解方程即可求得；将转化为齐次式，即可由求得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 解得；‎ - 21 -‎ 又.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数关系、正弦的倍角公式，属综合基础题.‎ ‎14. 在中，角所对的边分别为，的平分线与边交于点，，则______；若，则角______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理，即可求得；利用，求得关系，从而求得三角形的形状，结合已知条件，即可求得角.‎ ‎【详解】根据题意，作图如下：‎ 在中，由正弦定理可得；‎ 在中，由正弦定理可得；‎ 故可得，则；‎ ‎ 不妨设，，显然，‎ 因为，‎ 故可得，‎ 解得；‎ 在中，由余弦定理可得，‎ - 21 -‎ 将代入可得：‎ ‎，‎ 解得或（舍）（因为若，则在中不满足）‎ 故此时，‎ 则在中，容易知，‎ 故其为等腰三角形，则.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，属综合中档题.‎ ‎15. 已知数列中，，，若对任意的，使得恒成立，则实数的取值范围为______.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数列的递推公式求得，结合数列的单调性，求得数列的最大值，求解一元二次不等式，则问题得解.‎ ‎【详解】因为，‎ 故可得；；；，‎ ‎；‎ 则，又因为，故可得，‎ 该数列显然是单调增数列，则当.‎ 故恒成立等价于，‎ 即，‎ 则或.‎ 故答案为：或.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项公式，涉及裂项求和，以及一元二次不等式的求解，属综合中档题.‎ ‎16. 设，若方程恰有三个零点，则实数的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为与图像交点个数有3个的问题，利用导数研究函数单调性和最值，数形结合即可求得结果.‎ 详解】当时，，等价于；‎ 当时，，等价于；‎ 令，‎ 则方程恰有三个零点，等价于与直线有三个交点.‎ 当时，则，令，解得，‎ 故该函数在区间单调递增，在单调递减.‎ 且时，；又时，；‎ 而当时，由对勾函数性质，容易知：‎ 当时，函数取得最大值.‎ 故的图像如下所示：‎ - 21 -‎ 数形结合可知，要满足题意，只需，‎ 解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查由方程根的个数求参数范围，涉及利用导数研究函数单调性，对勾函数，属综合中档题.‎ ‎17. 已知单位向量，满足，且正实数满足则取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 赋予向量坐标，用解析法求解，将问题转化为求二次函数最值得问题，从而进行求解即可.‎ ‎【详解】单位向量，满足 故可设，‎ 则，，‎ 又，‎ 故，‎ 故，且，‎ 则，‎ - 21 -‎ 故 又当时，上式取得最小值，‎ 又；‎ 故容易知的取值范围为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查用解析法求解向量中的范围问题，涉及向量的坐标运算，属综合中档题.‎ 三、解答题 ‎18. 已知函数，.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求在的值域.‎ ‎【答案】（1）最小正周期（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角恒等变换化简至标准正弦型三角函数，再求最小正周期即可；‎ ‎（2）根据题意，求得的范围，结合正弦函数单调性，即可求得值域.‎ ‎【详解】（1）∵‎ ‎∴的最小正周期 ‎（2）因为，所以 - 21 -‎ 因为在上是增函数，在上是减函数，‎ 而，，‎ 所以在的值域为.‎ ‎【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数，涉及正弦型三角函数的值域和最小正周期的求解，属综合基础题.‎ ‎19. 已知函数，.‎ ‎（1）当时，求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）令，若在的最大值为，求的值.‎ ‎【答案】（1）单调递增区间为，（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将函数写成分段函数，分段讨论函数单调性即可；‎ ‎（2）令，利用换元法再求分段函数最值，结合题意，即可求得参数.‎ ‎【详解】（1）当时，‎ 当或，在递增，‎ 当时，在递增 所以函数的单调递增区间为，‎ - 21 -‎ ‎（2）‎ 可令，，‎ 则 当时，，则；‎ 当，则 综上可知或 ‎【点睛】本题考查分段函数单调区间和最值的求解，涉及二次函数的单调性，属基础题.‎ ‎20. 在中，，，，为上一点，且满足.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用平面向量共线定理，用参数表示出，比照系数即可求得；‎ ‎（2）以 - 21 -‎ 为坐标原点，建立平面直角坐标系，赋予向量坐标，用解析法将问题转化为二次函数求最小值的问题即可求得.‎ ‎【详解】（1）为上一点，可设，‎ 则，‎ 而，得，‎ 由 可得，‎ 所以 ‎（2）建立如图所示的直角坐标系，设，‎ 则，，，‎ 可知 所以，‎ 由，可知 所以 - 21 -‎ 从而当时，取最小值.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量共线定理，以及用解析法求解向量最值问题，涉及向量的坐标运算，属综合中档题.‎ ‎21. 设数列前项和，且，递增数列满足，，且成等比.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用的关系，进行下标缩放，即可容易求得；由等差数列的基本量，列出方程组，即可求得；‎ ‎（2）利用数学归纳法进行分步证明即可.‎ ‎【详解】（1）因为 所以 相减得 由得，‎ 所以数列是以，公比为的等比数列，‎ ‎∴‎ 而，数列为等差数列，‎ 又，不妨设其公差为，‎ 由可得，‎ 解得或（舍）（数列单调递增）‎ - 21 -‎ ‎∴‎ ‎（2）‎ 即 数学归纳法证明：‎ ‎（1）当时，左边，所以命题对成立.‎ ‎（2）假设时，命题成立.‎ 则当时，左边 右边 ‎∴命题对也成立.‎ 综上可证 ‎【点睛】本题考查利用的关系求数列的通项公式，以及利用基本量求等差数列的通项公式，涉及利用数学归纳法证明数列不等式，属综合中档题.‎ ‎22. 已知函数.‎ ‎（1）当时，函数在内有极小值，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，证明：.（自然常数）‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导，利用导数的正负判断函数单调性，求得极小值，再根据其范围，即可求得的取值范围；‎ - 21 -‎ ‎（2）根据的取值范围，将问题转化为求证，构造函数，利用导数求其最小值，则问题得解.‎ ‎【详解】（1）当时，‎ 显然在递增，‎ 且 ‎∴当，；当，‎ ‎∴为函数的极小值点 即 所以 ‎（2）当时，‎ 令，‎ 显然在递增 ‎，‎ ‎（可利用得出）‎ 所以存在，使得 且当，递减；当，递增 将代入，‎ ‎∵在递减，‎ - 21 -‎ ‎∴‎ 则 从而得证.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数极值，以及利用导数证明不等式，涉及根据参数范围进行适度放缩，以及构造函数法，属综合中档题.‎ - 21 -‎ - 21 -‎