普宁二中 2017 届高三第一次月考数学（理科）试题 11页

普宁二中 2017 届高三第一次月考数学（理科）试题 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题5 分，满分 60 分） （1）已 知集合 A=     2| lg 1 , | 2 3 0x y x B y y y      ，则 A B I （ ） A． 1, 3 B． 1, 3 C． 1, 3 D． 1, 3 （2）已知函数 22 3( ) ( 1) m mf x m m x     是幂函数,且 (0, )x   时, ( )f x 是递减的,则 m 的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D.3 （3）已知 1 23a  ， 31( )2b  ， 3 1log 2c  ，它们间的大小关系为（ ） A． a b c  B． a c b  C．b c a  D．b a c  （4）方程 6 0xe x   的一个根所在的区间为（ ） A． 1,0 B． (0,1) C． (1,2) D． (2,3) （5）下列四个结论，其中正确结论的个数是（ ） ①命题“ , ln 0x R x x    ”的否定是“ 0 0 0, ln 0x R x x    ”； ②命题“若 sin 0, 0x x x  则 ”的逆否命题为“若 0 sin 0x x x  ，则 ”； ③“命题 p q 为真”是“命题 p q 为真”的充分不必要条件； ④若 0x  ，则 sinx x 恒成立． A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 （6）已知函数   3sin3 1( , )f x a x bx a R b R     ，  f x 为  f x 的导函数，则    1 ( 1) 2 ( 2)f f f f       （ ） A． 2 B．1 C． 1 D． 0 （7）已知函数 2 2 3y x x   在[0, ]a 上的值域为[2,3]，则 a 的取值范围是（ ） A．[1, ) B． (0,2] C．[1,2] D． ( ,2] （8）函数 cos sin y x x x 的图象大致为（ ） A B C D （9）已知实数 ,x y 满足 x ya a (0 1)a  ,则下列关系式恒成立的是（ ） A． 2 2 1 1 1 1x y   B． 3 3x y C．sin sinx y D． 2 2ln( 1) ln( 1)x y   （10）已知函数 2 2, 0( ) ( 2) 2 , 0x ax xf x a x        是R 上的单调函数，则实数 a 的取值范围是( ) A． 2 ,   B． (2,4] C． ( ,4] D． (2,4) （11）已知函数 ( )( )f x xR 满足 ( ) ( 4)f x f x    ，若函数 1 2y x   与 ( )y f x 图像的交点为 1 1 2 2( , ),( , ), ,( , ),m mx y x y x y 则 1 ( ) m i i i x y    （ ） A．0 B． m C． 2m D． 4m （12）已知函数   3g x a x  （ 1 ,x e ee   为自然对数的底数）与   3lnh x x 的图象上存在关 于 x 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是 （ ） A． 31, 3e   B． 3 3 1 3, 3ee      C． 3 11, 3e     D． 3 3,e   二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）． （13）已知函数        03 0log 2 x xxxf x， ， ，则 1 =4f f        . （14）集合  022  xxxA ，则集合 A 的子集个数是 （15） 已知函数 | |( ) x mf x e  （m 为常数），若 ( )f x 在区间[2, ) 上是增函数， 则 m 的取值范围 是 .  O x y  O x y  O x y  O x y （16）若直线 y kx b  是曲线 2xy e  的切线，也是曲线 2xy e  的切线，则 k  三．解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分 12 分） 在等比数列 na 中，公比 1q  ， 2 2a  ，前三项和 3 7S  ． (Ⅰ)求数列 na 的通项公式； (Ⅱ)记 2logn nb a ， 1 2 1 n n n c b b    ，求数列{ }nc 的前 n 项和 nT . （18） （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 S- ABCD 中，SD⊥底面 ABCD，AB//DC，AD ⊥ DC,，AB=AD＝1，DC=SD=2， E 为棱 SB 上的一点，且 SE=2EB． (I)证明：DE⊥平面 SBC； (II)证明：求二面角 A- DE -C 的大小。 （19） （本小题满分 12 分） 设函数 3 2( ) ( 0)3 af x x bx cx d a     ，且方程 ( ) 9 0f x x   的两个根分别为 1，4 （Ⅰ）当 a =3 且曲线 ( )y f x 过原点时，求 ( )f x 的解析式； （Ⅱ）若 f(x)在无 极值点，求 a 的取值范围。 （20）（本小题满分 12 分） 设函数 )(xfy  定义在 R 上，对任意实数 m ， n ，恒有 )()()( nfmfnmf  ，且当 0x 时， 1)(0  xf 。 （1）求证： 1)0( f ，且当 0x 时， 1)( xf ； （ 2 ） 设 集 合  )1()()(|),( 22 fyfxfyxA  ，  RayaxfyxB  ,1)2(|),( ， 若 A B  I ，求 a 的取值范围。 （21） （本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) lnf x x ， ( ) ( )h x a x a R  . （Ⅰ）函数 ( )f x 与 ( )h x 的图象无公共点，试求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数 m ，使得对任意的 1( , )2x  ，都有函数 ( ) my f x x   的图象在 ( ) xeg x x  的图象的下方？若存在，请求出最大整数 m 的值；若不存在，请说理由. （参考数据： ln 2 0.6931 ，,ln3 1.0986 , 31.6487, 1.3956e e  ）. 请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答 时请写清题号. （22）（本题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图， AF 是圆 E 切线, F 是切点, 割线 ABC 与圆 E 交于 B 、C , BM 是圆 E 的直径， EF 交 AC 于 D , ACAB 3 1 ， 030EBC , 2MC  . （Ⅰ）求线段 AF 的长； （Ⅱ）求证： EDAD 3 . （23）（本小题满分 10 分）选修 4—4：极坐标与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. 已知曲线 1C ： 4 cos , 3 sin , x t y t       （t 为参数）， 2C ： 6cos , 2sin , x y      （ 为参数）. （Ⅰ）化 1C ， 2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若 1C 上的点 P 对应的参数为 2t   ，Q 为 2C 上的动点，求线段 PQ 的中点 M 到直线 3 : cos 3 sin 8 2 3C       距离的最小值. （24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 ( ) | 2 3| | 1|.f x x x    （Ⅰ）解不等式 ( ) 4f x  ； （Ⅱ）若存在 3 ,12x      使不等式 1 ( )a f x  成立，求实数 a 的取值范围. 普宁二中 2017 届高三第一次月考数学（理科）参考答案 一、填空题 （1）D （2）A （3）A （4）D （5）B （6）A （7）C （8）D （9）B （10）B （11）C （12）A 二、填空题 （13） 9 1 （14）8 （15） ( ,2] （16）1 三、解答题 17、解：(Ⅰ) 1,q  时， 2 1 2a a q  ； 2 3 1(1 ) 7S a q q    得 1 1 2 a q    ………………4 分 ∴ 12n na  ………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)中, 12n na  , 1 2 2log log 2 1n n nb a n    …………8 分 ∴ 1 2 1 1 1 1( )(n 1) 1n n n c b b n n n         ………………10 分 ∴ 11 11)1 11()3 1 2 1()2 11(21  n n nnncccT nn  ……12 分 18、分别以 DA ， DC ， DS 所在直线为 x 轴， y 轴，z 建立空间直角坐标系（如图）， 则 (1,0,0), (1,1,0), (0,2,0), (0,0,2)A B C S ， (1,1,0), (0,0,2)DB DS   （Ⅰ）∵SE=2EB， ∴ 2 1 2 1 2 2 2(1,1,0) (0,0,2) ( , , )3 3 3 3 3 3 3DE DB DS       又 ( 1,1,0), ( 1, 1,2)BC BS      ∴ 0, 0DE BC DE BS       ∴ ,DE BC DE BS     又 BC BS B ∴DE  平面 SBC ----------（6 分） (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，DE⊥平面 SBC， ∵ EC  平面 SBC，∴ DE EC 当 2SE EB 时，知 2 2 2( , , )3 3 3E ， 2 2 2( , , )3 3 3DE  ， 取 DE 中点 F ，则 1 1 1 3 3 3F（ ，，）， 2 1 1 3 3 3FA    （ ， ， ） 故 0FA DE   ，由此得 FA⊥DE ∴向量 FA  与 EC  的夹角等于二面角 A DE C  的平面角 又 1cos , 2| || | FA ECFA EC FA EC           ， ∴二面角 A DE C  的大小为 0120 .------------------（12 分） 19、解：由 3 2( ) 3 af x x bx cx d    得 2( ) 2f x ax bx c    2( ) 9 2 9 0f x x ax bx c x      Q 的两个根分别为 1,4， 2 9 0 16 8 36 0 a b c a b c         （*） ………………3 分 （Ⅰ）当 3a  时，又由（*）式得 2 6 0 8 12 0 b c b c        解得 3, 12b c   又因为曲线 ( )y f x 过原点，所以 0d  故 3 2( ) 3 12f x x x x   ………………6 分 （ Ⅱ ） 由 于 a>0, 所 以 “ 3 2( ) 3 af x x bx cx d    在 （ - ∞ ， + ∞ ） 内 无 极 值 点 ” 等 价 于 “ 2( ) 2 0f x ax bx c     在（-∞，+∞）内恒成立”。 由（*）式得 2 9 5 , 4b a c a   。 又 2(2 ) 4 9( 1)( 9)b ac a a      解 0 9( 1)( 9) 0 a a a       得  1,9a 即 a 的取值范围 1,9 ………………12 分 20、（1）证明：在 )()()( nfmfnmf  中，令 1m ， 0n ，得 )0()1()1( fff  ， ∵ 1)(0  xf ，∴ 1)0( f 。………………2 分 设 0x ，则 0 x ，令 xm  ， xn  ，代入条件式有 )()()0( xfxff  ， 而 1)0( f ， ∴ 0x ， 1)( 1)(  xfxf 。………………4 分 （2）证明：设 21 xx  ，则 012  xx ，∴ 1)(0 12  xxf 。令 1xm  ， 2xnm  ，则 12 xxn  代入条件式，………………5 分 得 )()()( 1212 xxfxfxf  ，即 1)( )(0 1 2  xf xf ，∴ )()( 12 xfxf  ，∴ )(xf 在 R 上单调递减。 由 )1()()( 22 fyfxf   )1()( 22 fyxf  ，………………8 分 又由（2）知 )(xf 为 R 上的递减，∴ 122  yx  点集 A 表示圆 122  yx 的内部。………9 分 由 1)2(  yaxf 得 02  yax  点集 B 表示直线 02  yax 。…………10 分 ∵ BA  ，∴直线 02  yax 与圆 122  yx 相离或相切。于是 1 1 2 2  a  33  a 。………………12 分 21、解：（Ⅰ）函数 ( )f x 与 ( )h x 无公共点，等价于方程 ln x ax  在 (0, ) 无解.…2 分 令 ln( ) xt x x  ，则 2 1 ln'( ) ,xt x x  令 '( ) 0,t x  得 x e x (0, )e e ( , )e  '( )t x ＋ 0 － ( )t x 增 极大值 减 因为 x e 是唯一的极大值点，故 max 1( )t t e e   ……………………………………4 分 故要使方程 ln x ax  在 (0, ) 无解，当且仅当 1a e  故实数 a 的取值范围为 1( , )e  …………………………………………………………5 分 （Ⅱ）假设存在实数 m 满足题意，则不等式 ln xm ex x x   对 1( , )2x  恒成立. 即 lnxm e x x  对 1( , )2x  恒成立.……………………………………………6 分 令 ( ) lnxr x e x x  ，则 '( ) ln 1xr x e x   ， 令 ( ) ln 1xx e x    ，则 1'( ) xx e x    ，………………………………………7 分 因为 '( )x 在 1( , )2  上单调递增， 1 21'( ) 2 02 e    ， '(1) 1 0e    ，且 '( )x 的图象在 1( ,1)2 上 连 续 ， 所 以 存 在 0 1( ,1)2x  ， 使 得 0'( ) 0x  ， 即 0 0 1 0xe x   ， 则 0 0lnx x  ，…………………………………………………………………………9 分 所以当 0 1( , )2x x 时， ( )x 单调递减；当 0( , )x x  时， ( )x 单调递增， 则 ( )x 取到最小值 0 0 0 0 0 1( ) ln 1 1xx e x x x        0 0 12 1 1 0x x      ， 所以 '( ) 0r x  ，即 ( )r x 在区间 1( , )2  内单调递增.………………………………11 分 1 1 2 21 1 1 1( ) ln ln 2 1.995252 2 2 2m r e e      ， 所以存在实数 m 满足题意，且最大整数 m 的值为1. ……………12 分 （22）（本题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 解：（Ⅰ）因为 BM 是圆 E 直径 所以, 090BCM ，………………1 分 又 2MC  , 030EBC ， 所 以 32BC ，…………………… …………………………………2 分 又 ,3 1 ACAB  可知 32 1  BCAB ，所以 33AC …………………………………3 分 根据切割线定理得： 93332  ACABAF ，…………………………………………………4 分 即 3AF …… …………………………………… …………………………………5 分 （Ⅱ）过 E 作 BCEH  于 H ，……………………………………………………………6 分 则 ADFEDH  ～ ，……………………………… …………………………………7 分 从而有 AF EH AD ED  ，…………………………………………………………………8 分 又由题意知 ，BCCH 32 1  2EB 所以 1EH ， …………………………………9 分 因此 3 1 AD ED ，即 EDAD 3 …………………………………10 分 （23）（本小题满分 10 分） 解：（Ⅰ） 2 2 1 :( 4) ( 3) 1,C x y    ，…………………………………………………1 分 2 2 2 : 136 4 x yC   …………………………… ………………………………………2 分 1C 为圆心是 (4, 3) ，半径是1的圆. ………………………………………3分 2C 为中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 6 ，短半轴长是 2 的椭圆. …………………………………………………………4 分 （Ⅱ）当 2t  时， (4, 4)P  ，………………………………………………………5 分 设 (6cos ,2sin )Q   则 (2 3cos , 2 sin )M     ， ………………………………………6 分 3C 为直线 3 (8 2 3) 0x y    ，……………………………………7 分 M 到 3C 的距离 (2 3cos ) 3( 2 sin ) (8 2 3) 2d         ……………………8 分 3cos 3sin 6 2     2 3 cos( ) 66 2     3 3 cos( )6    ………………………………………9 分 从而当 cos( ) 1,6    时， d 取得最小值3 3 ………………………………10 分 （24）（本小题满分 10 分） 解：（Ⅰ）∵ ( ) | 2 3| | 1|.f x x x    33 2 2 3( ) 4 12 3 2 1 x x f x x x x x               …………………………………………………2 分 3 3 11( ) 4 2 2 3 2 43 2 4 4 4 xx xf x xx x                      或 或 ………………………4 分 2 1 1x x x     或0 或 …………………………………… …………………5 分 综上所述，不等式 ( ) 4f x  的解集为： , 2 (0, )   …… …………………6 分 （Ⅱ）存在 3 ,12x      使不等式 1 ( )a f x  成立 min1 ( ( ))a f x   …………………7 分 由（Ⅰ）知， 3 ,12x      时， ( ) 4f x x  3 2x   时， min 5( ( )) 2f x  ……………………………… …………………8 分 5 31 2 2a a    …………………………………………………………………9 分 ∴实数 a 的取值范围为 3 ,2     …………………………………… …………………10 分