【数学】北京市海淀区101中学2017-2018学年高一下学期期末考试试题 （解析版） 14页

北京市海淀区 101 中学 2017-2018 学年高一下学期期末考试 数学试题 一､选择题共 10 小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.不等式 1 02 x x   的解集是( ) A.  1 2x x   B.  1 2x x   C.  2x x  或 1x   D.  2x x  【答案】B 【解析】根据题意， 1 02 x x   可以变形为（x+1）（x﹣2）≤0 且 x﹣2≠0， 解得﹣1≤x＜2，即不等式的解集为{x|﹣1≤x＜2}， 故选：B 2.设等差数列 na 的前 n 项和 nS ，若 4 10 4a a  ，则 13S  ( ) A. 13 B. 14 C. 26 D. 52 【答案】C 【解析】在等差数列{an}中，由 a4+a10＝4，得 2a7＝4，即 a7＝2. ∴S13＝  1 13 7 13 13 262 a a a     . 故选：C. 3.在 ABC 中，若 2 2 2sin sin sinA B C ＜ ，则 ABC 的形状是( ) A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 【答案】A 【解析】因为在 ABC 中，满足 2 2 2sin sin sinA B C  ， 由正弦定理知sin ,sin ,sin2 2 2 a b cA B CR R R    ，代入上式得 2 2 2a b c  ， 又由余弦定理可得 2 2 2 cos 02 a b cC ab    ，因为 C 是三角形的内角，所以 π( ,π)2 C ， 所以 ABC 为钝角三角形，故选 A. 4.已知直线 1l 的方程为3 4 7 0x y   ，直线 2l 的方程为 3 4 1 0x y   ，则直线 1l 和 2l 的 距离为( ) A. 8 5 B. 9 5 C. 4 5 D. 9 10 【答案】A 【解析】∵已知直线 l1 的方程为 3x+4y﹣7＝0，直线 l2 的方程为 3x+4y+1＝0， 则直线 l1 和 l2 的距离为 d＝ 2 2 |1 ( 7) | 3 4    ＝ 8 5 ， 故选：A. 5.设某直线的斜率为 k，且 33, 3k       ，则该直线的倾斜角 的取值范围是( ) A. π 5π,3 6      B. π 2π,6 3      C. 50 π π, ,3 6 π          D. 20 π π, ,6 3 π          【答案】D 【解析】直线 l 的斜率为 k，倾斜角为 ，若 k∈（﹣ 3 ， 3 3 ）， 所以﹣ 3 ＜tan ＜ 3 3 所以 20, ,6 π π3 π           . 故选：D 6.对于直线 ,m n 和平面 ,  ，能得出  的一组条件是（ ） A. m n ， m  ， n  B. m n ， m   ， n  C. m n ， n  ， m  D. m n ， m  ， n  【答案】C 【解析】A 选项中，根据 m n ， m  ， n  ，得到  或 ∥ ，所以 A 错误； B 选项中， m n ， m   ， n  ，不一定得到  ，所以 B 错误； C 选项中，因为 m n ， n  ，所以 m  . 又 m  ，从而得到  ，所以 C 正确； D 选项中，根据 m n ， m  ，所以 n  ，而 n  ，所以得到 ∥ ，所以 D 错误. 故选：C. 7.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下四个命题:① BM  平面 ADNE； ② / /CN 平面 ABFE；③平面 BDM P 平面 AFN；④平面 BDE  平面 NCF.其中正确命题 的序号是( ) A. ②③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】把正方体的平面展开图还原成正方体 ABCD﹣EFMN，如图 1 所示； 对于①，平面 BCMF∥平面 ADNE，BM ⊂ 平面 BCMF， ∴BM∥平面 ADNE，①错误； 对于②，平面 DCMN∥平面 ABFE，CN ⊂ 平面 DCMN， ∴CN∥平面 ABFE，②正确； 对于③，如图 2 所示， BD∥FN，BD ⊄ 平面 AFN，FN ⊂ 平面 AFN， ∴BD∥平面 AFN； 同理 BM∥平面 AFN，且 BD∩BM＝B， ∴平面 BDM∥平面 AFN，③正确； 对于④，如图 3 所示，同③可得平面 BDE∥平面 NCF，④错误. 综上，正确的命题序号是②③. 故选：A 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A. 8 3 B. 2 3 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】由几何体的三视图得该几何体是三棱锥 P﹣ABC，如图是长方体的一部分， 由三视图的数据，AB＝BC＝2，P 到底面的距离为 1， ∴该几何体的体积：V＝ 1 1 2 2 13 2     ＝ 2 3 . 故选：B. 9.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设 1AA 是正六棱柱 的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以 1AA 为底面矩形的一边，则这样 的阳马的个数是( ) A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】根据正六边形的性质，则 D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1 满足题意， 而 C1，E1，C，D，E，和 D1 一样，有 2×4＝8， 当 A1ACC1 为底面矩形，有 4 个满足题意， 当 A1AEE1 为底面矩形，有 4 个满足题意， 故有 8+4+4＝16 故选：D. 10.如图，四棱锥 S ABCD 中，底面是边长为 2 的正方形 ABCD，AC 与 BD 的交点为 O， SO  平面 ABCD 且 2SO  ，E 是边 BC 的中点，动点 P 在四棱锥表面上运动，并且总保 持 PE AC ，则动点 P 的轨迹的周长为( ) A. 2 2 B. 2 3 C. 1 2 D. 1 3 【答案】D 【解析】分别取 CD、SC 的中点 F、G，连接 EF、FG 和 EG，如图所示； 则 EF∥BD，EF ⊄ 平面 BDS，BD ⊂ 平面 BDS ∴EF∥平面 BDS 同理 FG∥平面 BDS 又 EF∩FG＝F，EF ⊂ 平面 EFG，FG ⊂ 平面 EFG，， ∴平面 EFG∥平面 BDS， 由 AC⊥BD，AC⊥SO，且 AC∩SO＝O， 则 AC⊥平面 BDS， ∴AC⊥平面 EFG， ∴点 P 在 △ EFG 的三条边上； 又 EF＝ 1 2 BD＝ 1 2 × 2 × 2 ＝1， FG＝EG＝ 1 2 SB＝ 1 2 × 2 2( 2) 1 ＝ 3 2 ， ∴△EFG 的周长为 EF+2FG＝1+ 3 故选：D. 二､填空题共 6 小题. 11.直线 : cos 1 06 π   l x y 的斜率为________. 【答案】 3 2 【解析】直线 l：xcos 6  ﹣y+1＝0，即为直线 l： 3 2 x﹣y+1＝0，即为 y＝ 3 2 x+1， 故直线的斜率为 3 2 ， 故答案为： 3 2 . 12.设等比数列 na 满足 2 4a  ， 3 4 128a a  ，则 6a  ________. 【答案】64 【解析】设公比为 q，∵a2＝4，a3a4＝128， ∴4q×4q2＝128， ∴q3＝8， ∴q＝2， ∴a6＝a2q4＝4×24＝64， 故答案为：64. 13.若 0a  ， 0b  ， 1a b  ，一定有 1 14 4ab ab   ，  2 2 2 2 1 14 4ab ab       成立， 请将猜想结果填空: 1n n n na b a b   ________. 【答案】 14 4 n n 【解析】由 a＞0，b＞0，a+b＝1， 一定有 ab+ 1 ab ≥4+ 1 4 ，（ab）2+（ 1 ab ）2≥42+ 2 1 4 成立， 可以猜想： 1 14 4 n n n n n na b a b    ， 故答案为： 14 4 n n . 14.如图，在长方体 ABCD A B C D    中， 1BC  ， 2AB  ， 3BB  ，M 为 AB 的中点， 点 P 在线段C M 上，点 P 到直线 BB的距离的最小值为________. 【答案】 2 2 【解析】连接 MC，由 BB'∥CC'，BB' ⊄ 平面 MCC'，CC' ⊂ 平面 MCC'， 可得 BB'∥平面 MCC'， 由点 P 到直线 BB'的距离的最小值为异面直线 BB'和直线 C'M 的距离， 即有直线 BB'和平面 MCC'的距离即为异面直线 BB'和 MC'的距离， 也即 B 到平面 MCC'的距离， 过 B 在底面 AC 内作 BH⊥MC， 由 CC'⊥底面 AC，可得 CC'⊥BH， 即有 BH⊥平面 MCC'， 由 BC＝BM＝1，且 BC⊥BA，可得 BH＝ 2 2 . 故答案为： 2 2 . 15.已知 ABC 中，点  1,1A ，  4,2B ，  4,6C  .则 ABC 的面积为________. 【答案】10 【解析】由两点式的直线 BC 的方程为 2 6 2 y   ＝ 4 4 4 x    ，即为 x+2y﹣8＝0， 由点 A 到直线的距离公式得 BC 边上的高 d＝ |1 2 8| 5   ＝ 5 ， BC 两点之间的距离为 2 2(6 2) ( 4 4)    ＝4 5 ， ∴△ABC 的面积为 1 2 ×4 5 × 5 ＝10， 故答案为：10. 16.已知  1 1,A x y ，  2 2,B x y 两点，满足: 2 2 1 1 1x y  ， 2 2 2 2 1x y  ， 1 2 1 2 1 2x x y y  ， 则 1 1 2 21 1 2 2 x y x y    的最大值为________. 【答案】 3 2 【解析】设 A（x1，y1），B（x2，y2），OA  ＝（x1，y1）， OB  ＝（x2，y2）， 由 x12+y12＝1，x22+y22＝1，x1x2+y1y2＝ 1 2 ， 可得 A，B 两点在圆 x2+y2＝1 上， 且OA OB  ＝1×1×cos∠AOB＝ 1 2 ， 即有∠AOB＝60°， 即三角形 OAB 为等边三角形，AB＝1， 1 1 2 21 1 2 2 x y x y    的几何意义为点 A，B 两点 到直线 x+y﹣1＝0 的距离 d1 与 d2 之和， 显然 A，B 在第三象限，AB 所在直线与直线 x+y＝1 平行， 可设 AB：x+y+t＝0，（t＞0）， 由圆心 O 到直线 AB 的距离 d＝ | | 2 t ， 可得 2 2 1 2 t ＝1，解得 t＝ 6 2 ， 即有两平行线的距离为 61 2 2  ＝ 2 3 2  ， 即 1 1 2 21 1 2 2 x y x y    的最大值为 3 2 ， 故答案为： 3 2 . 三､解答题共 4 小题.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程. 17.等比数列 na 中， 2 2a  ， 7 48a a . (1)求 na 的通项公式； (2)记 nS 为 na 的前 n 项和.若 63mS  ，求 m. 解：（1）∵等比数列{an}中，a2＝2，a7＝8a4. ∴2×q5＝8×（2×q2）， 解得 q＝2， 当 q＝2 时，an＝2n﹣1， ∴{an}的通项公式为，an＝2n﹣1， （2）记 Sn 为{an}的前 n 项和，a2＝2，q＝2， 则 a1＝1， 则 Sn＝ 1 2 1 2 n  ＝2n﹣1， 由 Sm＝63，得 Sm＝2m﹣1＝63，m∈N， 解得 m＝6. 18.设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且 cos 4 5B  ， 3b  . (1)当 6A   时，求 a 的值； (2)当 ABC 的面积为 3 时，求 a c 的值. 解：（1）∵ cos 4 5B  ，∴ 3sin 5B  ， 由正弦定理可知： sin sin a b A B  ， ∵A＝30°，∴sinA＝sin30°＝ 1 2 ， ∴ sin 5 sin 2 b Aa B   ； （2）∵ 1 sin2ABCS ac B△ ， △ ABC 的面积为 3， ∴ 3 310 ac  ，∴ac＝10， 由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB， ∴ 2 2 2 249 2 10 165a c a c        ，即 a2+c2＝25， 则（a+c）2＝a2+c2+2ac＝25+20＝45， 故 3 5a c  . 19.如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAC  平面 ABCD，且 PA AC ， 2PA AD  . 四边形 ABCD 满足 / /BC AD ，AB AD ， 1AB BC  .E 为侧棱 PB 的中点，F 为侧棱 PC 上的任意一点. (1)若 F 为 PC 的中点，求证: / /EF 平面 PAD； (2)求证:平面 AFD  平面 PAB； (3)是否存在点 F，使得直线 AF 与平面 PCD 垂直?若存在，写出证明过程并求出线段 PF 的 长；若不存在，请说明理由. 解：(1)因为 E，F 分别为侧棱 PB，PC 的中点， 所以 / /EF BC ，因为 / /BC AD ， 所以 / /EF AD ，而 EF  平面 PAD， AD 平面 PAD， 所以 / /EF 平面 PAD； (2)因为平面 ABCD  平面 PAC，平面 ABCD  平面 PAC AC ， 且 PA AC ， PA  平面 PAC， 所以 PA  平面 ABCD，又 AD 平面 ABCD，所以 PA AD . 又因为 AB AD ， PA AB A ，所以 AD  平面 PAB， 而 AD 平面 AFD，所以平面 AFD  平面 PAB； (3)在棱 PC 上显然存在点 F 使得 AF PC . 由已知， AB AD ， / /BC AD ， 1AB BC  ， 2AD  . 由平面几何知识可得CD AC . 由(2)知， PA  平面 ABCD，所以 PA CD ， 因为 PA AC A ，所以CD  平面 PAC. 而 AF  平面 PAC，所以CD AF . 又因为CD PC C ，所以 AF  平面 PCD. 在 PAC 中， 2PA  ， 2AC  ， 90PAC  ， 可求得， 6PC  ， 2 6 3PF  . 可见直线 AF 与平面 PCD 能够垂直，此时线段 PF 的长为 2 6 3 . 20.如图， Rt OAB 的直角边 OA 在 x 轴上，顶点 B 的坐标为 6,8 ，直线 CD 交 AB 于点  6,3D ，交 x 轴于点  12,0C . (1)求直线 CD 的方程； (2)动点 P 在 x 轴上从点  10,0 出发，以每秒 1 个单位的速度向 x 轴正方向运动，过点 P 作直线 l 垂直于 x 轴，设运动时间为 t. ①点 P 在运动过程中，是否存在某个位置，使得 PDA B   ?若存在，请求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由； ②请探索当 t 为何值时，在直线 l 上存在点 M，在直线 CD 上存在点 Q，使得以 OB 为一边， O，B，M，Q 为顶点的四边形为菱形，并求出此时 t 的值. 解：（1）直线 CD 过点 C（12，0），D（6，3），直线方程为 0 3 0 y   ＝ 12 6 12 x   ， 化为一般形式是 x+2y﹣12＝0； （2）①如图 1 中，作 DP∥OB，则∠PDA＝∠B， 由 DP∥OB 得， PA AO ＝ AD AB ，即 6 PA ＝ 3 8 ，∴PA＝ 9 4 ； ∴OP＝6﹣ 9 4 ＝ 15 4 ，∴点 P（ 15 4 ，0）； 根据对称性知，当 AP＝AP′时，P′（ 33 4 ，0）， ∴满足条件的点 P 坐标为（ 15 4 ，0）或（ 33 4 ，0）； ②如图 2 中，当 OP＝OB＝10 时，作 PQ∥OB 交 CD 于 Q， 则直线 OB 的解析式为 y＝ 4 3 x， 直线 PQ 的解析式为 y＝ 4 3 x+ 40 3 ， 由 4 40 3 3 2 12 0 y x x y        ，解得 4 8 x y     ，∴Q（﹣4，8）； ∴PQ＝ 2 2( 10 4) (0 8)    ＝10， ∴PQ＝OB，∴四边形 OPQB 是平行四边形， 又 OP＝OB，∴平行四边形 OPQB 是菱形； 此时点 M 与点 P 重合，且 t＝0； 如图 3，当 OQ＝OB 时，设 Q（m，﹣ 1 2 m+6）， 则有 m2+ 21 62 m     ＝102， 解得 m＝ 12 4 89 5  ； ∴点 Q 的横坐标为12 4 89 5  或 12 4 89 5  ； 设 M 的横坐标为 a， 则 6 2 a  ＝ 12 4 89 65 2   或 6 2 a  ＝ 12 4 89 65 2   ， 解得 a＝ 42 4 89 5  或 a＝ 42 4 89 5  ； 又点 P 是从点（﹣10，0）开始运动， 则满足条件的 t 的值为 92 4 89 5  或 92 4 89 5  ； 如图 4，当 Q 点与 C 点重合时，M 点的横坐标为 6，此时 t＝16； 综上，满足条件的 t 值为 0，或 16，或 92 4 89 5  或 92 4 89 5  .