【数学】2019届一轮复习苏教版几种常见的平面变换学案 3页

‎2019届一轮复习苏教版 几种常见的平面变换 学案 本章在高考中主要考查对六种特殊变换的理解，以及在六种变换前后的点的坐标及曲线方程的求法，掌握六种特殊变换的特点.‎ 一、求在某种变换作用下得到的图形(表达式)‎ 求在某种变换作用下所得到的图形(表达式)是考查变换知识的热点题型，通常用代入法(相关点法)求解.‎ ‎　下列所给的矩阵将给定的图形变成了什么图形？画图并指出该变换是什么变换？‎ ‎(1)，点A(2，1)；‎ ‎(2)，直线y＝2x＋2. ‎ ‎【解】　(1)矩阵对应的坐标变换公式为把A(2，1)代入即得A的对应点为A′(1，－2)，该变换把列向量＝按顺时针方向旋转90°.故该变换为旋转变换，如图所示.‎ ‎(2)设直线y＝2x＋2上任意一点P(x，y)按矩阵所表示的坐标变换对应的点为P′(x′，y′)，‎ 则＝＝，即 ‎∴代入y＝2x＋2，‎ 得－y′＝2x′＋2，即直线y＝2x＋2经过变换得到的图形为直线y＝－2x－2，如图所示，此变换为关于x轴的反射变换.‎ 二、求变换矩阵 根据变换的结果求变换矩阵的一般方法：找到前后点的坐标间的关系，由点的坐标间的关系即可求出变换矩阵.‎ ‎　求把△ABC变换成△A′B′C′的变换对应的矩阵，其中A(－2，1)，B(0，1)，C(0，－1)；A′(－2，－3)，B′(0，1)，C′(0，－1).‎ ‎【解】　设变换对应的矩阵为，‎ 由已知，得＝，‎ ＝，‎ ＝，‎ 即 即 ‎∴变换对应的矩阵为.‎ 三、函数方程思想 本章求矩阵变换下曲线的方程广泛应用了函数方程思想.‎ ‎　试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换.‎ ‎(1)，图形的方程为：x2＋y2＝4；‎ ‎(2)，图形的方程为：y＝－2x＋6.‎ ‎【解】　(1)所给方程表示的是以原点为圆心，2为半径的圆.设A(x，y)为曲线上的任意一点，经过变换后的点为A1(x1，y1)，则＝＝，‎ ‎∴2x＝x1，y＝y1，即x＝，y＝y1‎ 将其代入x2＋y2＝4可得到方程＋y＝4，此方程表示椭圆.‎ 所给方程表示的是圆，该变换是伸压变换.‎ ‎(2)所给方程表示的是一条直线.设A(x，y)为直线上的任意一点，经过变换后的点为A1(x1，y1).‎ ‎∵＝＝，‎ ‎∴x1＝0，y1＝2x＋y.‎ 又由y＝－2x＋6得2x＋y＝6，‎ ‎∴A1(0，6)为定点.‎ 通过变换将一条直线变为一点，该变换是投影变换.‎ ‎　如图226所示，对反比例函数图象C：y＝经过旋转变换将其方程改写为标准形式.‎ 图226‎ ‎【解】　设P(x，y)为曲线C上任意一点，它在变换T作用下的象P′(x′，y′)，‎ 其中变换矩阵为＝，‎ 则解得 故xy＝＝4，y′2－x′2＝8，‎ 因此旋转后的方程为－＝1.‎