【数学】2019届一轮复习人教A版基本不等式及其应用(2)学案 14页

第 3 节　基本不等式及其应用 最新考纲　1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小) 值问题. 知 识 梳 理 1.基本不等式： ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号. (3)其中a＋b 2 称为正数 a，b 的算术平均数， ab称为正数 a，b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号. (2)ab≤(a＋b 2 ) 2 (a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知 x≥0，y≥0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2 p(简记：积定 和最小). (2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是s2 4 (简记：和定积 最大). [常用结论与微点提醒] 1. b a＋a b≥2(a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号. 2.ab≤(a＋b 2 ) 2 ≤a2＋b2 2 . 3. 2 1 a ＋1 b ≤ ab≤a＋b 2 ≤ a2＋b2 2 (a>0，b>0). 4.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋b 2 ≥ ab成立的条件是相同的.(　　) (2)函数 y＝x＋1 x的最小值是 2.(　　) (3)函数 f(x)＝sin x＋ 4 sin x的最小值为 4.(　　) (4)x＞0 且 y＞0 是x y＋y x≥2 的充要条件.(　　) 解析　(1)不等式 a2＋b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R； 不等式a＋b 2 ≥ ab成立的条件是 a≥0，b≥0. (2)函数 y＝x＋1 x值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值. (3)函数 f(x)＝sin x＋ 4 sin x的最小值为－5. (4)x>0 且 y>0 是x y＋y x≥2 的充分不必要条件. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为(　　) A.80 B.77 C.81 D.82 解析　xy≤(x＋y 2 ) 2 ＝81，当且仅当 x＝y＝9 时取等号. 答案　C 3.若函数 f(x)＝x＋ 1 x－2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于(　　) A.1＋ 2 B.1＋ 3 C.3 D.4 解析　当 x>2 时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋ 1 x－2 ＋2≥2 （x－2） × 1 x－2 ＋2＝4， 当且仅当 x－2＝ 1 x－2(x>2)，即 x＝3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，即 a＝ 3. 答案　C 4.(2017·山东卷)若直线 x a＋y b＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则 2a＋b 的最小值为 ________. 解析　由题设可得1 a ＋2 b＝1，∵a>0，b>0， ∴ 2a ＋ b ＝ (2a ＋ b)(1 a ＋2 b)＝ 2 ＋ b a＋ 4a b ＋ 2≥4 ＋ 2 b a· 4a b ＝ 8 (当且仅当b a ＝4a b ，即b＝2a时，等号成立). 故 2a＋b 的最小值为 8. 答案　8 5.(必修 5P100A2 改编)一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙 长 18 m，则这个矩形的长为______m，宽为________m 时菜园面积最大. 解析　设矩形的长为 x m，宽为 y m.则 x＋2y＝30，所以 S＝xy＝1 2x·(2y)≤ 1 2(x＋2y 2 ) 2 ＝225 2 ，当且仅当 x＝2y，即 x＝15，y＝15 2 时取等号. 答案　15　15 2 考点一　配凑法求最值 【例 1】 (1)若 x＜5 4，则 f(x)＝4x－2＋ 1 4x－5 的最大值为________； (2)函数 y＝ x－1 x＋3＋ x－1 的最大值为________. 解析　(1)因为 x＜5 4，所以 5－4x＞0， 则 f(x)＝4x－2＋ 1 4x－5 ＝－(5－4x＋ 1 5－4x)＋3≤ －2 （5－4x） 1 5－4x ＋3＝－2＋3＝1. 当且仅当 5－4x＝ 1 5－4x ，即 x＝1 时，等号成立. 故 f(x)＝4x－2＋ 1 4x－5 的最大值为 1. (2)令 t＝ x－1≥0，则 x＝t2＋1， 所以 y＝ t t2＋1＋3＋t ＝ t t2＋t＋4. 当 t＝0，即 x＝1 时，y＝0； 当 t＞0，即 x＞1 时，y＝ 1 t＋4 t ＋1 ， 因为 t＋4 t≥2 4＝4(当且仅当 t＝2 时取等号)， 所以 y＝ 1 t＋4 t ＋1 ≤1 5， 即 y 的最大值为1 5(当 t＝2，即 x＝5 时 y 取得最大值). 答案　(1)1　(2)1 5 规律方法　1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二 定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时， 和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件. 2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常 数的形式，然后再利用基本不等式. 【训练 1】 (1)(2018·湖北重点中学一联)若对∀x≥1，不等式 x＋ 1 x＋1 －1≥a 恒成 立，则实数 a 的取值范围是________. (2)函数 y＝x2＋2 x－1 (x>1)的最小值为________. 解析　(1)因为函数 f(x)＝x＋1 x－1 在[1，＋∞)上单调递增，所以函数 g(x)＝x＋1＋ 1 x＋1 －2 在[0，＋∞)上单调递增，所以函数 g(x)在[1，＋∞)的最小值为 g(1)＝1 2 ， 因此对∀x≥1 不等式 x＋ 1 x＋1 －1≥a 恒成立，所以 a≤g(x)最小值＝1 2，故实数 a 的 取值范围是(－∞， 1 2]. (2)y＝x2＋2 x－1 ＝（x2－2x＋1）＋（2x－2）＋3 x－1 ＝（x－1）2＋2（x－1）＋3 x－1 ＝(x－1)＋ 3 x－1 ＋2≥2 3＋2. 当且仅当 x－1＝ 3 x－1 ，即 x＝ 3＋1 时，等号成立. 答案　(1)(－∞， 1 2]　(2)2 3＋2 考点二　常数代换或消元法求最值(易错警示) 【例 2】 (1)(一题多解)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值为 ________； (2)(一题多解)已知 x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为________. 解析　(1)法一　由 x＋3y＝5xy 可得 1 5y＋ 3 5x＝1， ∴3x＋4y＝(3x＋4y)( 1 5y＋ 3 5x) ＝9 5＋4 5＋3x 5y＋12y 5x ≥13 5 ＋12 5 ＝5(当且仅当3x 5y＝12y 5x ，即 x＝1，y＝1 2时，等号成立)， ∴3x＋4y 的最小值是 5. 法二　由 x＋3y＝5xy，得 x＝ 3y 5y－1 ， ∵x>0，y>0，∴y> 1 5， ∴3x＋4y＝ 9y 5y－1 ＋4y＝ 13(y－1 5)＋9 5 ＋4 5 －4y 5(y－1 5) ＋4y＝13 5 ＋9 5· 1 5 y－1 5 ＋4(y－1 5) ≥13 5 ＋2 36 25＝5， 当且仅当 y＝1 2时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5. (2)由已知得 x＝9－3y 1＋y . 法一　(消元法) 因为 x＞0，y＞0，所以 0＜y＜3， 所以 x＋3y＝9－3y 1＋y ＋3y ＝ 12 1＋y ＋3(y＋1)－6≥2 12 1＋y·3（y＋1）－6＝6， 当且仅当 12 1＋y ＝3(y＋1)， 即 y＝1，x＝3 时，(x＋3y)min＝6. 法二　∵x＞0，y＞0， 9－(x＋3y)＝xy＝1 3x·(3y)≤1 3·(x＋3y 2 ) 2 ， 当且仅当 x＝3y 时等号成立. 设 x＋3y＝t＞0，则 t2＋12t－108≥0， ∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t＞0，∴t≥6. 故当 x＝3，y＝1 时，(x＋3y)min＝6. 答案　(1)5　(2)6 规律方法　条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个 量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变 形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最 值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解. 易错警示　(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次 使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致. 【训练 2】 (1)已知 x，y 均为正实数，且 1 x＋2 ＋ 1 y＋2 ＝1 6，则 x＋y 的最小值为(　　) A.24 B.32 C.20 D.28 (2)(2018·石家庄质检)已知直线 l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2，3)，则 a＋ b 的最小值为________. 解析　(1)∵x，y 均为正实数，且 1 x＋2 ＋ 1 y＋2 ＝1 6， 则 x＋y＝(x＋2＋y＋2)－4 ＝6( 1 x＋2 ＋ 1 y＋2)(x＋2＋y＋2)－4 ＝6(2＋x＋2 y＋2 ＋y＋2 x＋2)－4 ≥6×(2＋2 x＋2 y＋2· y＋2 x＋2)－4＝20， 当且仅当 x＝y＝10 时取等号. ∴x＋y 的最小值为 20. 故选 C. (2)因为直线 l 经过点(2，3)，所以 2a＋3b－ab＝0，所以 b＝ 2a a－3>0，所以 a－ 3>0，所以 a＋b＝a＋ 2a a－3 ＝a－3＋ 6 a－3 ＋5≥5＋2 （a－3）· 6 a－3 ＝5＋2 6，当 且仅当 a－3＝ 6 a－3 ，即 a＝3＋ 6，b＝2＋ 6时等号成立. 答案　(1)C　(2)5＋2 6 考点三　基本不等式在实际问题中的应用 【例 3】 运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制 50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油 (2＋ x2 360)升，司机的工资是每小时 14 元. (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式； (2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 解　(1)设所用时间为 t＝130 x (h)， y＝130 x ×2×(2＋ x2 360)＋14×130 x ，x∈[50，100]. 所以，这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 y＝130 × 18 x ＋2 × 130 360 x，x∈[50， 100] (或 y＝2 340 x ＋13 18x，x∈[50，100]). (2)y＝130 × 18 x ＋2 × 130 360 x≥26 10， 当且仅当130 × 18 x ＝2 × 130 360 x， 即 x＝18 10时等号成立. 故当 x＝18 10千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 26 10元. 规律方法　1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围) 求解. 【训练 3】 2016 年 11 月 3 日 20 点 43 分我国长征五号运载火箭在海南文昌发 射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长 征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的 生产，并以 x 千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求 1≤x≤10)，每小时可消耗 A 材料 kx2＋9 千克，已知每小时生产 1 千克该产品时，消耗 A 材料 10 千克. (1)设生产 m 千克该产品，消耗 A 材料 y 千克，试把 y 表示为 x 的函数. (2)要使生产 1 000 千克该产品消耗的 A 材料最少，工厂应选取何种生产速度？并 求消耗的 A 材料最少为多少？ 解　(1)由题意，得 k＋9＝10，即 k＝1，生产 m 千克该产品需要的时间是m x， 所以 y＝m x(kx2＋9)＝m(x＋9 x)，x∈[1，10]. (2)由(1)知，生产 1 000 千克该产品消耗的 A 材料为 y＝1 000(x＋9 x)≥1 000×2 9 ＝6 000， 当且仅当 x＝9 x，即 x＝3 时，等号成立，且 3∈[1，10]. 故工厂应选取 3 千克/时的生产速度，消耗的 A 材料最少，最少为 6 000 千克. 基础巩固题组 (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1.下列不等式一定成立的是(　　) A.lg(x2＋1 4)>lg x(x>0) B.sin x＋ 1 sin x≥2(x≠kπ，k∈Z) C.x2＋1≥2|x|(x∈R) D. 1 x2＋1 ＜1(x∈R) 解析　当 x＞0 时，x2＋1 4≥2·x·1 2 ＝x，所以 lg(x2＋1 4)≥lg x(x＞0)，故选项 A 不 正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，当 x≠kπ，k∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项 B 不正确；显然选项 C 正确；当 x＝0 时，有 1 x2＋1 ＝1，选项 D 不正确. 答案　C 2.若 2x＋2y＝1，则 x＋y 的取值范围是(　　) A.[0，2] B.[－2，0] C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2] 解析　2 2x＋y≤2x＋2y＝1，所以 2x＋y≤1 4，所以 x＋y≤－2. 答案　D 3.(2018·平顶山一模)若对于任意的 x>0，不等式 x x2＋3x＋1 ≤a 恒成立，则实数 a 的取值范围为(　　) A.[1 5，＋∞) B.(1 5，＋∞) C.(－∞， 1 5) D.(－∞， 1 5] 解析　由 x>0，得 x x2＋3x＋1 ＝ 1 x＋1 x ＋3 ≤ 1 2 x· 1 x＋3 ＝1 5，当且仅当 x＝1 时，等号 成立，则 a≥1 5. 答案　A 4.若 a>0，b>0，且 a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　) A. 1 ab≤1 4 B. 1 a＋1 b≤1 C. ab≥2 D.a2＋b2≥8 解析　4＝a＋b≥2 ab(当且仅当 a＝b 时，等号成立)，即 ab≤2，ab≤4，1 ab≥1 4， 选项 A，C 不成立；1 a＋1 b＝a＋b ab ＝ 4 ab≥1，选项 B 不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab ＝16－2ab≥8，选项 D 成立. 答案　D 5.若 a，b 都是正数，则(1＋b a)·(1＋4a b )的最小值为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 解析　∵a，b 都是正数，∴(1＋b a)(1＋4a b )＝5＋b a＋4a b ≥5＋2 b a· 4a b ＝9，当且仅 当 b＝2a>0 时取等号. 答案　C 6.若正数 x，y 满足 4x2＋9y2＋3xy＝30，则 xy 的最大值是(　　) A. 4 3 B. 5 3 C.2 D. 5 4 解析　由 x＞0，y＞0，得 4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当 2x＝3y 时等 号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即 xy≤2，∴xy 的最大值为 2. 答案　C 7.已知 x>0，y>0 且 4xy－x－2y＝4，则 xy 的最小值为(　　) A. 2 2 B.2 2 C. 2 D.2 解析　∵x>0，y>0，x＋2y≥2 2xy， ∴4xy－(x＋2y)≤4xy－2 2xy， ∴4≤4xy－2 2xy， 则( 2xy－2)( 2xy＋1)≥0， ∴ 2xy≥2，∴xy≥2. 答案　D 8.(2018·郑州质检)已知 a，b∈(0，＋∞)，且 a＋b＋ 1 a＋1 b＝5，则 a＋b 的取值范 围是(　　) A.[1，4] B.[2，＋∞) C.(2，4) D.(4，＋∞) 解析　因为 a＋b＋1 a＋1 b＝(a＋b)(1＋ 1 ab)＝5，又 a，b∈(0，＋∞)，所以 a＋b＝ 5 1＋ 1 ab ≤ 5 1＋( 2 a＋b)2 ，当且仅当 a＝b 时，等号成立，即(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0， 解得 1≤a＋b≤4. 答案　A 二、填空题 9.正数 a，b 满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围是________. 解析　∵a，b 是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2 ab＋3， 解得 ab≥3，即 ab≥9. 答案　[9，＋∞) 10.(2017·天津卷)若 a，b∈R，ab>0，则a4＋4b4＋1 ab 的最小值为________. 解析　∵a，b∈R，ab>0， ∴a4＋4b4＋1 ab ≥4a2b2＋1 ab ＝4ab＋ 1 ab≥2 4ab· 1 ab＝4， 当且仅当{a2＝2b2， 4ab＝ 1 ab，即{a2＝ 2 2 ， b2＝ 2 4 时取得等号. 答案　4 11.已知函数 f(x)＝x2＋ax＋11 x＋1 (a∈R)，若对于任意的 x∈N*，f(x)≥3 恒成立，则 a 的取值范围是________. 解析　对任意 x∈N*，f(x)≥3， 即x2＋ax＋11 x＋1 ≥3 恒成立，即 a≥－(x＋8 x)＋3. 设 g(x)＝x＋8 x，x∈N*，则 g(x)＝x＋8 x≥4 2， 当 x＝2 2时等号成立，又 g(2)＝6，g(3)＝17 3 ，g(4)＝6. ∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝17 3 .∴－(x＋8 x)＋3≤－8 3， ∴a≥－8 3，故 a 的取值范围是[－8 3，＋∞). 答案　[－8 3，＋∞) 12.(2018·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂 和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓 库之间的距离为 4 千米时，运费为 20 万元，仓储费为 5 万元，当工厂和仓库之 间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元. 解析　设工厂和仓库之间的距离为 x 千米，运费为 y1 万元，仓储费为 y2 万元， 则 y1＝k1x(k1≠0)，y2＝k2 x (k2≠0)， ∵工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运费为 20 万元，仓储费用为 5 万元， ∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为(5x＋20 x )万元， ∵5x＋20 x ≥2 5x × 20 x ＝20，当且仅当 5x＝20 x ，即 x＝2 时，运费与仓储费之和 最小，为 20 万元. 答案　2　20 能力提升题组 (建议用时：15 分钟) 13.(2018·西安模拟)若△ABC 的内角满足 sin A＋ 2sin B＝2sin C，则 cos C 的最小 值是(　　) A. 6－ 2 4 B. 6＋ 2 4 C. 6－ 2 2 D. 6＋ 2 2 解析　由正弦定理，得 a＋ 2b＝2c. 所以 cos C＝ a2＋b2－c2 2ab ＝ a2＋b2－(a＋ 2b 2 )2 2ab ＝3a2＋2b2－2 2ab 8ab ≥2 6ab－2 2ab 8ab ＝ 6－ 2 4 . 当且仅当 3a2＝2b2，即 3a＝ 2b 时，等号成立. 所以 cos C 的最小值为 6－ 2 4 . 答案　A 14.(2018·安徽江南十校联考)已知数列{an}满足 an＋1＋an＝(n＋1)·cosnπ 2 (n≥2，n ∈N*)，Sn 是数列{an}的前 n 项和，若 S2 017＋m＝1 010，且 a1·m>0，则 1 a1＋1 m的 最小值为(　　) A.2 B. 2 C.2 2 D.2＋ 2 解析　由 an＋1＋an＝(n＋1)·cos nπ 2 (n≥2，n∈N*)得，a3＋a2＝－3，a4＋a3＝0，a5 ＋a4＝5，a6＋a5＝0，a7＋a6＝－7，a8＋a7＝0，a9＋a8＝9，a10＋a9＝0，…， ∴a2＋a3＋a4＋a5＝a6＋a7＋a8＋a9＝… ＝a2 014＋a2 015＋a2 016＋a2 017＝2， ∴S2 017＝504(a2＋a3＋a4＋a5)＋a1＝1 008＋a1， 又 S2 017＋m＝1 010， ∴a1＋m＝2，∴ 1 a1＋1 m＝1 2(a1＋m)·( 1 a1＋1 m) ＝1 2(2＋a1 m ＋m a1)≥2，即 1 a1＋1 m的最小值为 2. 答案　A 15.(2018·潍坊调研)设 x，y 满足约束条件 {y ≤ x＋1， y ≥ 2x－1， x ≥ 0，y ≥ 0， 若目标函数 z＝abx ＋y(a>0，b>0)的最大值为 35，则 a＋b 的最小值为________. 解析　可行域如图所示，当直线 abx＋y＝z(a>0，b>0)过点 B(2，3)时，z 取最大值 2ab＋3. 于是有 2ab＋3＝35，ab＝16. 所以 a＋b≥2 ab＝8，当且仅当 a＝b＝4 时等号成立， 所以(a＋b)min＝8. 答案　8 16.正数 a，b 满足1 a＋9 b＝1，若不等式 a＋b≥－x2＋4x＋18－m 对任意实数 x 恒 成立，则实数 m 的取值范围是________. 解析　因为 a＞0，b＞0，1 a＋9 b＝1，所以 a＋b＝(a＋b)·(1 a＋9 b)＝10＋b a＋9a b ≥10 ＋2 9＝16.由题意，得 16≥－x2＋4x＋18－m，即 x2－4x－2≥－m 对任意实数 x 恒成立，又 x2－4x－2＝(x－2)2－6 的最小值为－6， 所以－6≥－m，即 m≥6. 答案　[6，＋∞)