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- 2021-05-25 发布
3.2.2
函数的奇偶性
【考纲要求】 理解函数的奇偶性
.
【学习重点】 判断函数的奇偶性及奇偶性的应用
.
一、自主学习
(
一
)
知识归纳
2
.
奇函数和偶函数的性质
:
(1)
f
(
x
)
是奇函数
⇔
f
(
x
)
的图象关于原点对称
;
f
(
x
)
是偶函数
⇔
f
(
x
)
的图象关于
y
轴对称
;
(2)
f
(
x
)
是奇函数且在
x=
0
处有定义
,
则
f
(0)
=
0;
(3)
奇函数在其对称的区间上具有相同的单调性
,
偶函数在其对称的区间上具有相反的单调性
.
(
二
)
基础训练
【
答案
】B
1
.
点
A
(1,
-
2)
关于
y
轴对称的点
B
的坐标为
(
)
A.(1,
-
2) B.(
-
1,
-
2) C.(
-
1,2) D.(1,2)
2
.
若
f
(
x
)
是奇函数
,
则下列说法不正确的是
(
)
A.
对定义域内的任意
x
,
-x
也在函数的定义域内
B.
函数
f
(
x
)
的图象关于原点对称
C.
f
(
-x
)
=f
(
x
)
D.
f
(
x
)
=-f
(
-x
)
【
答案
】C
【
答案
】B
【
答案
】B
【
答案
】C
二、探究提高
【解】
(1)
此函数定义域是
(1,
+∞
),
∴
f
(
x
)
=x
2
(
x>
1)
既不是奇函数也不是偶函数
.
(2)
此函数定义域为
(0,
+∞
),
∴
f
(
x
)
=
lg
x+
lg
x
-
1
既不是奇函数也不是偶函数
.
(3)
此函数定义域为
R,
并且
f
(
-x
)
=
3(
-x
)
2
+
2
=
3
x
2
+
2
=f
(
x
)
.
∴
f
(
x
)
=
3
x
2
+
2
是偶函数
.
【小结】 若函数的定义域不关于坐标原点对称
,
则函数一定是非奇非偶函数
;
若函数的定义域关于坐标原点对称
,
并且
f
(-
x
)=-
f
(
x
),
则函数是奇函数
;
若函数的定义域关于坐标原点对称
,
并且
f
(-
x
)=
f
(
x
),
则函数是偶函数
;
若函数的定义域关于坐标原点对称
,
并且
f
(
x
)=0,
则函数既是奇函数又是偶函数
.
【解】
A
、
B
是奇函数
,
其中只有
A
在定义域内又是增函数
.
答案为
A.
【解】 因为函数是奇函数
,
所以
f
(
a
2
)
>-f
(
-
7
a+
12)
=f
(7
a-
12)
.
又
∵
f
(
x
)
在
(
-∞
,
+∞
)
上是增函数
,
∴
a
2
>
7
a-
12,∴
a
2
-
7
a+
12
>
0,∴
a<
3
或
a>
4
.
【小结】 函数奇偶性可将
x
的函数值转化为
-x
的函数值
,
在奇函数中有
f
(
x
)
=-f
(
-x
)(
或
-f
(
x
)
=f
(
-x
)),
在偶函数中有
f
(
x
)
=f
(
-x
);
由函数单调性
,
可根据自变量的大小关系判断函数值的大小关系
,
也可根据函数值的大小关系判断自变量的大小关系
.
【例
4
】 已知奇函数
f
(
x
)
在
(
-∞
,
+∞
)
上是增函数
,
且
f
(
a
2
)
+f
(
-
7
a+
12)
>
0,
求
a
的取值范围
.
分析
:
在奇函数中
,
f
(
-x
)
+f
(
x
)
=
0
可转化为
f
(
-x
)
=-f
(
x
);
单调函数中
,
可以通过函数值的大小关系来判断自变量的大小关系
.
三、达标训练
【
答案
】C
【
答案
】 A
【
答案
】C
【
答案
】 A
【
答案
】 A
6
.
若奇函数
f
(
x
)
=x
3
的定义域为
[
m
,2
-m
2
],
求
f
(
m
)
.
解
:∵
函数
f
(
x
)
=x
3
为奇函数且其定义域为
[
m
,2
-m
2
]
∴
-m=
2
-m
2
∴
m=-
1
或
m=
2(
舍去
)
∴
f
(
m
)
=f
(
-
1)
=-
1
.
8
.
已知偶函数
f
(
x
),
当
x>
0
时
,
f
(
x
)
=x
2
-
2
x-
3;
当
x<
0
时
,
求
f
(
x
)
.
解
:∵
函数
f
(
x
)
为偶函数
∴
f
(
-x
)
=f
(
x
)
∵
当
x>
0
时
,
f
(
x
)
=x
2
-
2
x-
3
∴
当
x<
0
时
,
-x>
0
∴
f
(
-x
)
=
(
-x
)
2
-
2(
-x
)
-
3
=x
2
+
2
x-
3
∴
当
x<
0
时
f
(
x
)
=x
2
+
2
x-
3
.
9
.
若二次函数
f
(
x
)
是偶函数
,
且满足
f
(
-
1)
=-
1,
f
(0)
=
1,
求
f
(
x
)
的表达式
.