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- 2021-05-25 发布
专题04 导数及其应用
（十七）导数及其应用
1．导数概念及其几何意义
（1）了解导数概念的实际背景.
（2）理解导数的几何意义.
2．导数的运算
（1）能根据导数定义求函数y=C，（C为常数），的导数.
（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数.
•常见基本初等函数的导数公式：
•常用的导数运算法则：
法则1:
法则2:
法则3:
3．导数在研究函数中的应用
（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.
4．生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题.
5．定积分与微积分基本定理
（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.
（2）了解微积分基本定理的含义.
与2017年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在2018年的高考中预计仍会以“一小一大”的格局呈现，“一小”即以选择题或填空题的形式考查导数的几何意义和导数在研究函数问题中的直接应用，或以定积分的简单应用为主，难度中等；“一大”即以压轴题的形式呈现，仍会以导数的应用为主，主要考查导数、含参不等式、方程、探索性等方面的综合应用，难度较大.
考向一 利用导数研究函数的单调性
样题1 （2017新课标全国Ⅰ理科）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围.
考向二 利用导数研究函数的极值问题
样题2（2017新课标全国Ⅱ理科）若是函数的极值点，则的极小值为
A． B．
C． D．1
【答案】A
【解析】由题可得，
因为，所以，，故，
令，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故选A．
【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x
)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
样题3（2017新课标全国Ⅱ理科）已知函数，且．
（1）求；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且．
（2）由（1）知 ，．
设，则．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又，，，
所以在有唯一零点，在有唯一零点1，
且当时，；当时，；当时，．
因为，所以是的唯一极大值点．
由得，故．
由得．
因为是在（0，1）的最大值点，
由，得．
所以．
【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．
考向三 导数与不等式恒成立问题
样题4 已知定义在上的奇函数满足：当时，.若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
先求出时的单调性，再根据奇函数在对称区间上的单调性相同可得出在上单调递增，可得到在上恒成立，再利用分离参数的方法，可得到
，进而利用求导的方法求出的最小值即可.此题判断出在上的单调性是解题的关键．
样题5 已知函数，函数在点处的切线与直线平行．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的值或取值范围．
（2）令，则．
根据题意，当时，恒成立，
所以.
①当时，，时，恒成立，
所以在上是增函数，且，所以不符合题意.
②当时，时，恒成立，
所以在上是增函数，且所以不符合题意.
③当时，时，恒有，故在上是减函数，
于是“对任意都成立”的充要条件是，
即，解得，故取，
综上，．
考向四 定积分及其应用
样题6 ．
【答案】0
【解析】.
样题7 执行如图所示的程序框图,输出的T的值为 ．
【答案】
样题8 如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f (x)=x2.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 ．
【答案】