2018届二轮复习解三角形问题课件（江苏专用） 48页

专题 4 　三角函数与平面向量 第 18 练　解三角形问题 正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形问题是高考每年必考的热点问题之一 . 命题的重点主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等；二是以实际生活为背景，考查解三角形问题；三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命题的重点和热点 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 1 2 3 4 5 解析 　 由余弦定理得 AB 2 ＝ AC 2 ＋ BC 2 － 2 AC · BC ·cos C ， 即 13 ＝ AC 2 ＋ 9 － 2 AC × 3 × cos 120° ， 化 简得 AC 2 ＋ 3 AC － 4 ＝ 0 ， 解 得 AC ＝ 1 或 AC ＝－ 4( 舍去 ). 1 1 2 3 4 5 解析答案 解析　 设 BC 边上的高线 AD 交 BC 于点 D ， 1 2 3 4 5 解析答案 又 b － c ＝ 2 ， ∴ b 2 － 2 bc ＋ c 2 ＝ 4 ， b 2 ＋ c 2 ＝ 52. 由余弦定理得， a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A 8 1 2 3 4 5 解析答案 1 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 返回 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 返回 高考 必会题型 题型一　活用正弦、余弦定理求解三角形问题 即 b 2 － 6 b ＋ 8 ＝ 0 ， ∴ b ＝ 4 或 b ＝ 2 ，又 b < c ， ∴ b ＝ 2. 2 解析答案 解析答案 (2)(2016· 课标全国乙 ) △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 2cos C ( a cos B ＋ b cos A ) ＝ c . ① 求 C ； 解 　由已知及正弦定理得， 2cos C (sin A cos B ＋ sin B ·cos A ) ＝ sin C , 2cos C sin( A ＋ B ) ＝ sin C ， 解析答案 点评 由已知及余弦定理得， a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C ＝ 7 ， 故 a 2 ＋ b 2 ＝ 13 ，从而 ( a ＋ b ) 2 ＝ 25. 点评 在根据正弦、余弦定理解三角形问题中，要结合大边对大角进行判断 . 一般地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，有两解；已知大角求小角有一解 . 在解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止增解等扩大范围的现象发生 . 解析答案 在 △ ABC 中， sin A ≠ 0 ， 解析答案 (2) 若 b ＝ 3 ， sin C ＝ 2sin A ，求 a ， c 的值 . 解　 ∵ sin C ＝ 2sin A ，由正弦定理得 c ＝ 2 a ， 由余弦定理 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 － 2 ac cos B ， 题型二　正弦、余弦定理的实际应用 例 2 　某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 . 在小艇出发时，轮船位于港口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里 / 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶 . 假设该小艇沿直线方向以 v 海里 / 小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇 . (1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ 解析答案 解　 设相遇时小艇航行的距离为 S 海里，则 点评 (2) 假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里 / 小时，试设计航行方案 ( 即确定航行方向和航行速度的大小 ) ，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由 . 解析答案 点评 解　 设小艇与轮船在 B 处相遇 . 则 v 2 t 2 ＝ 400 ＋ 900 t 2 － 2·20·30 t ·cos(90° － 30°) ， 解析答案 ∵ 0< v ≤ 30 ， 点评 此时，在 △ OAB 中，有 OA ＝ OB ＝ AB ＝ 20. 故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东 30° ，航行速度为 30 海里 / 小时 . 解三角形中的实际问题四步骤 (1) 分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等； (2) 根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出； (3) 将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解； (4) 检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案 . 点评 解析答案 变式训练 2 　 为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C ，使 C 在塔底 B 的正东方向上，测得点 A 的仰角为 60° ，再由点 C 沿北偏东 15° 方向走 10 米到位置 D ，测得 ∠ BDC ＝ 45° ，则塔 AB 的高是 ________ 米 . 解析　 由题意可得， ∠ BCD ＝ 90° ＋ 15° ＝ 105° ， CD ＝ 10 ， ∠ BDC ＝ 45° ， ∴∠ CBD ＝ 30°. 在 △ BCD 中，由正弦定理， 题型三　解三角形与其他知识的交汇 解析答案 点评 (2) 求 a 的最小值 . 解析答案 解　 ∵ bc ＝ 5 ， ∴ a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 － 6 ， ∴ a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 － 6 ⇒ b 2 ＋ c 2 ＝ 6 ＋ a 2 ≥ 2 bc ＝ 10. ∴ a min ＝ 2. 解三角形问题与三角函数性质、向量、不等式、立体几何、数列等知识结合交汇，是近年来高考的新题型，对于这种问题要细心读题，弄清问题实质，一般都以其他知识为载体，主体还是利用正弦、余弦定理解三角形，所以将问题转化为解三角形是关键 . 点评 (1) 求 A ； 解析答案 返回 解析答案 解　 方法一　由余弦定理，得 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ， 得 7 ＝ 4 ＋ c 2 － 2 c ，即 c 2 － 2 c － 3 ＝ 0 ， 因为 c ＞ 0 ，所以 c ＝ 3 ， 解析答案 返回 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析　 由 3sin A ＝ 2sin B ，得 3 a ＝ 2 b ， 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 3. 在三角形 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ，且 a ＞ b ＞ c ， a 2 ＜ b 2 ＋ c 2 ，则角 A 的取值范围是 ________. 解析　 因为 a 2 ＜ b 2 ＋ c 2 ， 又因为 a ＞ b ＞ c ，所以 A 为最大角， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 4. 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边的长分别为 a ， b ， c ，若 a sin A ＋ b sin B ＜ c sin C ，则 △ ABC 的形状是 __________ 三角形 . 解析　 根据正弦定理可得 a 2 ＋ b 2 ＜ c 2 . 故 C 是钝角 . 钝角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析　 设角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析　 若 x ＝ 1 ，则 △ ABC 为直角三角形， ∠ A ＝ 90°. 90 ° 60 ° 或 120° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 从而 ∠ BAD ＝ 15° ＝ ∠ DAC ， 所以 C ＝ 180° － 120° － 30° ＝ 30° ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(2015· 课标全国 Ⅰ ) 在平面四边形 ABCD 中， ∠ A ＝ ∠ B ＝ ∠ C ＝ 75° ， BC ＝ 2 ，则 AB 的取值范围是 ___________ _ ______. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 如图所示，延长 BA 与 CD 相交于点 E ， 过 点 C 作 CF ∥ AD 交 AB 于点 F ，则 BF < AB < BE . 在等腰三角形 CBF 中， ∠ FCB ＝ 30° ， CF ＝ BC ＝ 2 ， 在等腰三角形 ECB 中， ∠ CEB ＝ 30° ， ∠ ECB ＝ 75° ， BE ＝ CE ， BC ＝ 2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 答案 (3,6] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 b ＝ 2sin B ， c ＝ 2sin C ， 所以 b 2 ＋ c 2 ＝ 4(sin 2 B ＋ sin 2 C ) ＝ 2(1 － cos 2 B ＋ 1 － cos 2 C ) 所以 3 ＜ b 2 ＋ c 2 ≤ 6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (1) 证明： a ＋ b ＝ 2 c ； 化简得 2(sin A cos B ＋ sin B cos A ) ＝ sin A ＋ sin B ， 即 2sin( A ＋ B ) ＝ sin A ＋ sin B ，因为 A ＋ B ＋ C ＝ π ， 所以 sin( A ＋ B ) ＝ sin(π － C ) ＝ sin C ， 从而 sin A ＋ sin B ＝ 2sin C ，由正弦定理得 a ＋ b ＝ 2 c . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (2) 求 cos C 的最小值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (1) 证明： sin A sin B ＝ sin C ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 则 a ＝ k sin A ， b ＝ k sin B ， c ＝ k sin C . 变形可 得 sin A sin B ＝ sin A cos B ＋ cos A sin B ＝ sin( A ＋ B ). 在 △ ABC 中，由 A ＋ B ＋ C ＝ π ， 有 sin( A ＋ B ) ＝ sin(π － C ) ＝ sin C . 所以 sin A sin B ＝ sin C . 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由 (1) ，知 sin A sin B ＝ sin A cos B ＋ cos A sin B ，