高中人教a版数学必修4：第11课时 正弦函数、余弦函数的性质（1）——周期性、奇偶性 word版含解析 4页

第 11 课时 正弦函数、余弦函数的性质(1)——周期性、奇偶性 课时目标 1.掌握周期函数概念，会求三角函数周期． 2．能判断三角函数的奇偶性． 识记强化 1．周期性： (1)对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，则函数 y＝f(x)叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期．对于一个周 期函数 f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最 小正周期． (2)y＝sinx，y＝cosx 都是周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)都是它们的周期，最小正周期是 2π. 2．y＝Asin(wx＋φ)，x∈R 及 y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R(其中 A、ω、φ为常数且 A≠0，ω>0) 的周期为 T＝2π ω . 3．y＝sinx，x∈R 是奇函数，y＝cosx，x∈R 是偶函数；sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx. 4．反映在图象上，正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于 y 轴对称． 课时作业 一、选择题 1．下列说法中正确的是( ) A．当 x＝π 2 时，sin x＋π 6 ≠sinx，所以π 6 不是 f(x)＝sinx 的周期 B．当 x＝5π 12 时，sin x＋π 6 ＝sinx，所以π 6 是 f(x)＝sinx 的一个周期 C．因为 sin(π－x)＝sinx，所以π是 y＝sinx 的一个周期 D．因为 cos π 2 －x ＝sinx，所以π 2 是 y＝cosx 的一个周期 答案：A 解析：T 是 f(x)的周期，对应 f(x)的定义域内任意 x 都有 f(x＋T)＝f(x)成立． 2．函数 y＝－5cos(3x＋1)的最小正周期为( ) A.π 3 B．3π C.2π 3 D.3π 2 答案：C 解析：该函数的最小正周期 T＝2π ω ＝2π 3 . 3．函数 y＝cos π 4 －x 3 的最小正周期是( ) A．π B．6π C．4π D．8π 答案：B 解析：最小正周期公式 T＝2π |ω| ＝ 2π |－1 3| ＝6π. 4．下列函数中，最小正周期为π的是( ) A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝sinx 2 D．y＝cos2x 答案：D 解析：A 项，y＝sinx 的最小正周期为 2π，故 A 项不符合题意；B 项，y＝cosx 的最小 正周期为 2π，故 B 项不符合题意；C 项，y＝sin x 2 的最小正周期为 T＝2π ω ＝4π，故 C 项不符 合题意；D 项，y＝cos2x 的最小正周期为 T＝2π ω ＝π，故 D 项符合题意．故选 D. 5．函数 f(x)＝xsin π 2 －x ( ) A．是奇函数 B．是非奇非偶函数 C．是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 答案：A 解析：由题，得函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称．又 f(x)＝xsin π 2 －x ＝xcosx，∴ f(－x)＝(－x)cos(－x)＝－xcosx＝－f(x)，∴函数 f(x)为奇函数． 6．已知函数 f(x)＝ cossinx的定义域为 R，则( ) A．f(x)是奇函数 B．f(x)是偶函数 C．f(x)既是奇函数又是偶函数 D．f(x)既不是奇函数又不是偶函数 答案：B 解析：∵函数 f(x)＝ cossinx的定义域为 R，关于原点对称，且 f(－x)＝ cos[sin－x]＝ cos－sinx＝ cossinx＝f(x)，∴f(x)＝ cossinx为偶函数． 二、填空题 7．若 f(x)是奇函数，当 x＞0 时，f(x)＝x2－sinx，则当 x＜0 时，f(x)＝________. 答案：－x2－sinx 解析：利用奇函数的定义求解．当 x＜0 时，－x＞0，因 f(x)为奇函数，所以 f(x)＝－f(－ x)＝－[(－x)2－sin(－x)]＝－x2－sinx. 8．函数 f(x)是以 2 为周期的函数，且 f(2)＝3，则 f(6)＝________. 答案：3 解析：∵函数 f(x)是以 2 为周期的函数，且 f(2)＝3，∴f(6)＝f(2×2＋2)＝f(2)＝3. 9．已知函数 f(x)＝ax＋bsinx＋1，若 f(20 15)＝7，则 f(－2 015)＝________. 答案：－5 解析：由 f(2 015)＝2 015a＋bsin2 015＋1＝7，得 2 015a＋bsin2 015＝6，∴f(－2 015) ＝－2 015a－bsin2 015＋1＝－(2 015a＋bsin2 015)＋1＝－6＋1＝－5. 三、解答题 10．已知函数 f(x)＝log1 2|sinx|. (1)求其定义域和值域； (2)判断奇偶性； (3)判断周期性，若是周期函数，求其周期． 解：(1)|sinx|>0⇒sinx≠0， ∴x≠kπ(k∈Z)． ∴定义域为{x|x≠kπ，k∈Z} ∵0<|sinx|≤1，∴log1 2|sinx|≥0， ∴函数的值域是{y|y≥0}． (2)定义域关于原点对称 ∵f(－x)＝log1 2|sin(－x)| ＝log1 2|sinx|＝f(x)， ∴函数 f(x)是偶函数． (3)∵|sinx|在定义域{x|x≠kπ，k∈Z}内是周期函数，且最小正周期是π， ∴函数 f(x)＝log1 2|sinx|是周期函数，最小正周期为π. 11．设 f(x)＝log3 1－2sinx 1＋2sinx . (1)求函数 f(x)的定义域； (2)判断函数 f(x)的奇偶性． 解：(1)∵1－2sinx 1＋2sinx >0， ∴－1 2