- 1.28 MB
- 2021-05-25 发布
回扣1 集合与常用逻辑用语
1．集合
(1)集合的运算性质：①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁UA⊇∁UB.
(2)子集、真子集个数计算公式
对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.
(3)集合运算中的常用方法
若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
2．四种命题及其相互关系
(1)
(2)互为逆否命题的两命题同真同假．
3．含有逻辑联结词的命题的真假
(1)命题p∨q：若p，q中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真．
(2)命题p∧q：若p，q中至少有一个为假，则命题为假命题，p，q同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真．
(3)命题綈p：与命题p真假相反．
4．全称命题、特称(存在性)命题及其否定
(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称(存在性)命题綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．
(2)特称(存在性)命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题綈p：∀x∈M，綈p(x)．
5．充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．
2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}．
3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．
4．空集是任何集合的子集．由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A＝∅的情况．
5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则綈q”，其否命题为“若綈p，则綈q”．
6．在对全称命题和特称(存在性)命题进行否定时，不要忽视对量词的改变．
7．对于充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．
8．判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．
1．设集合M＝{x∈Z|－3＜x＜2}，N＝{x∈Z|－1≤x≤3}，则M∩N等于( )
A．{0,1} B．{－1,0,1,2}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1}
答案 D
解析 ∵M＝{x∈Z|－3＜x＜2}＝{－2，－1,0,1}，
N＝{x∈Z|－1≤x≤3}＝{－1,0,1,2,3}，
∴M∩N＝{－1,0,1}，故选D.
2．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{y|y＝2x－1，x≥0}，则A∩B等于( )
A．∅ B．[0,1)∩(3，＋∞)
C．A D．B
答案 C
解析 由题意，得集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{y|y≥0}，那么A∩B＝{x|1＜x＜3}＝A.
3．已知集合M＝{x|log2x＜3}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，则M∩N等于( )
A．(0,8) B．{3,5,7}
C．{0,1,3,5,7} D．{1,3,5,7}
答案 D
解析 ∵M＝{x|0＜x＜8}，又N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，
∴M∩N＝{1,3,5,7}，故选D.
4．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{5,6,7}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈B}，则C中所含元素的个数为( )
A．5 B．6
C．12 D．13
答案 D
解析 若x＝5∈A，y＝1∈A，则x＋y＝5＋1＝6∈B，即点(5,1)∈C；同理，(5,2)∈C，(4,1)∈C，(4,2)∈C，(4,3)∈C，(3,2)∈C，(3,3)∈C，(3,4)∈C，(2,3)∈C，(2,4)∈C，(2,5)∈C，(1,4)∈C，(1,5)∈C，所以C中所含元素的个数为13，故选D.
5．已知集合A＝{y|y＝sin x，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg x}，则(∁RA)∩B为( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．[－1,1]
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
答案 C
解析 因为A＝{y|y＝sin x，x∈R}＝[－1,1]，
B＝{x|y＝lg x}＝(0，＋∞)，
所以(∁RA)∩B＝(1，＋∞)．
6．设有两个命题，命题p：关于x的不等式(x－3)·≥0的解集为{x|x≥3}，命题q：若函数y＝kx2－kx－8的值恒小于0，则－32＜k＜0，那么( )
A．“p且q”为真命题 B．“p或q”为真命题
C．“綈p”为真命题 D．“綈q”为假命题
答案 C
解析 不等式(x－3)·≥0的解集为{x|x≥3或x＝1}，所以命题p为假命题．若函数y＝kx2－kx－8的值恒小于0，则－32＜k≤0，所以命题q也是假命题，所以“綈p”为真命题．
7．(2016·天津)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 设数列的首项为a1，则a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)<0，即q<－1，
故q<0是q<－1的必要不充分条件．故选C.
8．设命题甲：ax2＋2ax＋1＞0的解集是实数集R；命题乙：05}，则M∪N等于( )
A．{x|－3－3}
D．{x|x<－3或x>5}
答案 C
解析 在数轴上表示集合M，N，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}，故选C.
11．下列四个结论：
①若x>0，则x>sin x恒成立；
②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；
③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；
④命题“∀x∈R，x－ln x>0”的否定是“∃x0∈R，x0－ln x0<0”．
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 对于①，令y＝x－sin x，则y′＝1－cos x≥0，则函数y＝x－sin x在R上单调递增，则当x>0时，x－sin x>0－0＝0，即当x>0时，x>sin x恒成立，故①正确；
对于②，命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”，故②正确；
对于③，命题p∨q为真即p，q中至少有一个为真，p∧q为真即p，q都为真，可知“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确；
对于④，命题“∀x∈R，x－ln x>0”的否定是“∃x0∈R，x0－ln x0≤0”，故④错误．
综上，正确结论的个数为3，故选C.
12．设集合M＝，N＝，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由已知，可得即0≤m≤，
即≤n≤1，
当集合M∩N的长度取最小值时，M与N应分别在区间[0,1]的左右两端．
取m的最小值0，n的最大值1，
可得M＝，N＝.
所以M∩N＝∩＝.
此时集合M∩N的“长度”的最小值为－＝.
故选C.
13．已知集合M＝，若3∈M,5∉M，则实数a的取值范围是______________．
答案 ∪(9,25]
解析 ∵集合M＝，
得(ax－5)(x2－a)＜0，
当a＝0时，显然不成立，
当a＞0时，原不等式可化为(x－)(x＋)＜0，
若＜，只需满足解得1≤a＜；
若＞，只需满足
解得9＜a≤25，当a＜0时，不符合条件．
综上，a的取值范围为∪(9,25]．
14．若“∀x∈，m≤tan x＋1”为真命题，则实数m的最大值为________．
答案 0
解析 令f(x)＝tan x＋1，则函数f(x)在上为增函数，故f(x)的最小值为f ＝0，
∵∀x∈，m≤tan x＋1，
故m≤(tan x＋1)min，
∴m≤0，故实数m的最大值为0.
15．若“m＞a”是“函数f(x)＝x＋m－的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为________．
答案 －1
解析 f(0)＝m＋，
∵函数y＝f(x)的图象不过第三象限，
∴m＋≥0，即m≥－，
又“m＞a”是“m≥－”的必要不充分条件，
∴a＜－，则实数a能取的最大整数为－1.
16．下列结论：
①命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”；
②“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件；
③若“命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0”，则“綈p：∃x0∈R，x＋x0＋1＝0”；
④若“p∨q”为真命题，则p，q均为真命题．
其中错误结论的序号是______________．
答案 ④
解析 对于若“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，所以④错误．