【数学】2020届一轮复习北师大版空间向量及其应用作业 61页

‎1.(2018浙江嵊州高三期末质检,19,15分)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=,ED⊥平面ABCD,EF∥DB,M是线段AE的中点,DE=EF=BD.‎ ‎(1)证明:DM∥平面CEF;‎ ‎(2)求直线DM与平面DEF所成角的正弦值.‎ 解析　(1)证明:连接AC与BD交于点O,连接MO.‎ 因为DO∥EF,DO⊄平面CEF,EF⊂平面CEF,所以DO∥平面CEF.‎ 因为M是线段AE的中点,所以MO是△ACE的中位线,所以MO∥EC.‎ 又MO⊄平面CEF,EC⊂平面CEF,所以MO∥平面CEF,又MO∩DO=O,MO⊂平面MDO,DO⊂平面MDO,所以平面MDO∥平面CEF,又DM⊂平面MDO,所以DM∥平面CEF.‎ ‎(2)解法一:因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.‎ 又因为ED⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以ED⊥AC,又ED∩BD=D,所以AC⊥平面DEF.设BD=2,则点A到平面DEF的距离AO=.‎ 因为点M是线段AE的中点,所以点M到平面DEF的距离h=AO=.‎ 设直线DM与平面DEF所成的角为θ,‎ 则sin θ===.‎ 故直线DM与平面DEF所成角的正弦值为.‎ 解法二:设AB的中点为G,连接DG,则DG⊥DC.‎ 以D为坐标原点,DG,DC,DE所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.取BD=2,则D(0,0,0),M,E(0,0,1),F,所以=(0,0,1),=.‎ 设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则 即 可取法向量n=(1,-,0).‎ 又=,‎ 所以cos<,n>===,‎ 故直线DM与平面DEF所成角的正弦值为.‎ ‎2.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷一,19)如图,在四棱锥A-BCDO中,DO⊥平面AOB,BO∥CD,OA=CD=2,OD=2,OB=4,∠AOB=120°.‎ ‎(1)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值;‎ ‎(2)求二面角D-OA-C的余弦值.‎ 解析　(1)如图,过点O在平面AOB内作OB的垂线OE,交AB于点E.‎ ‎∵DO⊥平面AOB,∴OD⊥OE,OD⊥OB,分别以OE,OB,OD所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.‎ 则各点坐标为O(0,0,0),A(,-1,0),B(0,4,0),C(0,2,2),D(0,0,2),∴=(-,5,0),=(-,1,2).‎ 设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),‎ 则由n·=0,n·=0,得取x=5,得n=(5,,2).‎ 设直线AC与平面ABD所成角为θ,又=(-,3,2),‎ ‎∴sin θ=|cos