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- 2021-05-25 发布
第2课时 导数与函数的极值、最值
热点一 利用导数研究函数的极值
考向1 根据函数的图象判断函数的极值
【例1】 (2017·青海西宁月考)设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝x·f′(x)的图象的一部分如图所示，则( )
A．f(x)的极大值为f()，极小值为f(－)
B．f(x)的极大值为f(－)，极小值为f()
C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)
D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)
【解析】 由图象知，当x<－3时，f′(x)<0；当－30，由此知极小值为f(－3)；当00；当x>3时，f′(x)<0，由此知极大值为f(3)，故选D.
【答案】 D
考向2 求函数的极值
【例2】 已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
【解】 由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x>0)，因为f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．
考向3 已知函数的极值求参数
【例3】 (2017·江西八校联考)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B.
C．(0,1) D．(0，＋∞)
【解析】 ∵f(x)＝x(lnx－ax)，
∴f′(x)＝lnx－2ax＋1，故f′(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，
令f′(x)＝0，则2a＝，
设g(x)＝，则g′(x)＝，
∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
又∵当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，而g(x)max＝g(1)＝1.
∴只需0<2a<1⇒00，故a>2或a<－2，
函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点可化为x2－ax＋1＝0在区间上有解，
①当20，即16－4a＋1>0，故a<，故20，由k<，
得>e，则x－<0，所以<0，
所以f(x)在上单调递减．
所以f(x)min＝f(e)＝＋klne＝＋k－1，f(x)max＝f＝e－k－1.
综上，k<时，f(x)min＝＋k－1，f(x)max＝e－k－1.
若把本例中函数改为“f(x)＝＋alnx，a∈R”，试求解此函数在区间(0，e]上的最小值．
解：f′(x)＝，x∈(0，＋∞)．
①当a＝0时，在区间(0，e]上f′(x)＝－，此时f(x)在区间(0，e]上单调递减，则f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝.
②当<0，即a<0时，在区间(0，e]上f′(x)<0，此时f(x)在区间(0，e]上单调递减，则f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝＋a，
③当0<时，
在区间上f′(x)<0，
此时f(x)在区间上单调递减；
在区间上f′(x)>0.
此时f(x)在区间上单调递增；
则f(x)在区间(0，e]上的最小值为f＝a＋aln.
④当≥e，即0时，f(x)在区间(0，e]上的最小值为a＋aln.
【总结反思】
求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值．
(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)．
(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
热点三 函数极值与最值的综合问题
【例5】 已知函数f(x)＝(a>0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．
【解】 (1)f′(x)
＝
＝.
令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，
因为ex>0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)符号相同．
又因为a>0，所以－30，即f′(x)>0，
当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，
所以f(x)的单调递增区间是(－3,0)，
单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．
(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有
解得a＝1，b＝5，c＝5.
所以f(x)＝.
因为f(x)的单调递增区间是(－3,0)，
单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．
所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，
故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f
(0)中的最大者，而f(－5)＝＝5e5>5＝f(0)，
所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.
【总结反思】
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是( )
A．－13 B．－15
C．10 D．15
解析：对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，
由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0.即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在[0,1]上单调递增，
∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
又∵f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，
且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，
f′(n)min＝f′(－1)＝－9.
故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.
答案：A
1．函数的最值是整个定义域上的问题，而函数的极值只是定义域的局部问题．
2．f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取得极值的必要非充分条件，因为求函数的极值，还必须判断x0两侧的f′(x)的符号是否相反．
3．求f(x)的最值应注意在闭区间上研究，还是在开区间上研究，若闭区间上最值问题只需比较端点值与极值即可，若开区间上最值问题，注意考查f(x)的有界性．