数学华东师大版九年级上册教案22-2 一元二次方程的解法 第3课时 2页

1 22.2 一元二次方程的解法 第 3 课时 教学目标 1.了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 2．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题． 教学重难点 【教学重点】 配方的概念，运用配方法解一元二次方程. 【教学难点】 直接开平方法和配方法之间的区别和联系. 课前准备 无 教学过程 一、情境导入 李老师让学生解一元二次方程 x2－6x－5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下， 在方程两边同时加上 14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……，你能按照他的想法 求出这个方程的解吗？ 二、合作探究 探究点：配方法 【类型一】配方 用配方法解一元二次方程 x2－4x＝5 时，此方程可变形为( ) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9 解析：由于方程左边关于 x 的代数式的二次项系数为 1，故在方程两边都加上一次项系数一 半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可．因为 x2－4x＝5，所以 x2－4x＋4＝5＋4，所以(x－2)2＝9.故选 D. 方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方 程的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为 1；(3)等式两边同时加上一次项 系数一半的平方． 【类型二】利用配方法解一元二次方程 用配方法解方程：x2－4x＋1＝0. 解析：二次项系数是 1 时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数 一半的平方，把方程配成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解． 解：移项，得 x2－4x＝－1.配方，得 x2－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2.即(x－2)2＝3.解这个方 2 程，得 x－2＝± 3.∴x1＝2＋ 3，x2＝2－ 3. 方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需 的形式． 【类型三】用配方解决求值问题 已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0，求x－2y x2＋y2的值． 解：原方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝0，∴(x＋2)2＝0 且(y－3)2＝0，∴x＝－2 且 y＝3， ∴原式＝－2－6 13 ＝－ 8 13 . 【类型四】用配方解决证明问题 (1)用配方法证明 2x2－4x＋7 的值恒大于零； (2)由第(1)题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式． 证明：(1)2x2－4x＋7＝2(x2－2x)＋7＝2(x2－2x＋1－1)＋7＝2(x－1)2－2＋7＝2(x－1)2＋5. ∵2(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋5≥5，即 2x2－4x＋7≥5，故 2x2－4x＋7 的值恒大于零． (2)x2－2x＋3；2x2－2x＋5；3x2＋6x＋8 等． 【类型五】配方法与不等式知识的综合应用 证明关于 x 的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0 不论 m 为何值时，都是一元二次方程． 解析：要证明“不论 m 为何值时，方程都是一元二次方程”，只需证明二次项系数 m2－8m＋ 17 的值不等于 0. 证明：∵二次项系数 m2－8m＋17＝m2－8m＋16＋1＝(m－4)2＋1，又∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2 ＋1＞0，即 m2－8m＋17＞0.∴不论 m 为何值时，原方程都是一元二次方程． 三、板书设计 四、教学反思 教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程．因此需熟练掌握完 全平方式的形式.